" />
      home basics

Canon F-604 FRACTION

GHID DE UTILIZARE

canon_f-604 (32K)

PORNIRE/OPRIRE

f604ONCOFF (1K)

Pornirea se face apasand tasta rosie [ON/C] . Pe afisaj trebuie sa apara cifra 0. Oprirea se face apasand intai tasta [2ndF] si apoi acaeeasi tasta rosie [ON/C] avand deasupra, inscriptionata cu auriu eticheta 'OFF'. (sau notand prescurtat secventa de taste apasate [2ndF][OFF]).

OPRIREA AUTOMATA

Daca timp de aproximativ 15 minute nu se apasa nici o tasta, calculatorul se opreste automat.

TASTATURA

f604-2ndF (1K)

Ca mai toate calculatoarele stiintifice de la HP-45 incoace, Canon F-604 are o tastatura duala, majoritatea tastelor avand asociate doua functii. In coltul din stanga sus se gaseste o tasta etichetata 2ndF care daca este apasata in coltul din stanga sus al displayului este afisat simbolul 2ndF indicand ca shift-area tastaturii este activata.

Daca tasta [2ndF] a fost apasata din greseala, pentru anulare se mai apasa odata. Simbolul 2ndF dispare de pe display iar shift-area tastaturii este dezactivata.

f604radic (1K)

f604x2 (1K)

Pe tastele care au asociate doua functii, simbolul uneia dintre functii este inscriptionat chiar pe tasta, indicand faptul ca apasarea acesteia cu tastatura neshiftata determina executia functiei respective. Numele celei de a doua functii este imprimat cu auriu deasupra tastei.

Pentru a executa a doua functie, se apasa intai tasta [2ndF] pentru a activa shiftarea tastaturii (pe display aparand simbolul 2ndF) si apoi tasta corespunzatoare care are simbolul functiei imprimat deasupra. Simbolul 2ndF dispare de pe display iar cea de a doua functie asociata tastei apasate este executata.

De exemplu apasand direct tasta [√ | ³√ ] (avand inscriptionat simbolul primei functii √ si avand deasupra imprimat cu galben simbolul ³√ al celei de a doua functii) se efectueaza extragerea radacinii patrate. Daca insa se apasa intai tasta [2ndF] si apoi tasta [√ | ³√] se calculeaza radacina cubica a numarului afisat pe display. Similar apasand tasta [x²| 1/x] se calculeaza patratul numarului afisat iar apasand [2ndF][x²| 1/x] functia reciproca (inversa) f(x)=1/x.

Pentru simplificarea notatiei, pentru a desemna apasarea unei taste voi inscrie intre paranteze drepte numai simbolul functiei invocate (prima sau a doua).

Cand se executa prima functie asociata tastei (fara a apasa tasta [2ndF]), voi scrie in loc de [√ | ³√ ] doar [√] indicand ca se executa extragerea radacinii patrate.

Cand se executa a doua functie asociata tastei, in loc de [2ndF][√ | ³√ ] voi scrie [2ndF][³√] indicand ca se executa calculul radacinii cubice.

AFISAJ

Afisajul la F-604 se face pe un display LCD cu 7 segmente permitand doua sisteme de afisare: in virgula mobila (floating point) si in notatie stiintifica (scientific notation).

f-604Display (24K)

In mod normal numarul apare pe display reprezentat in virgula mobila, primele sale 10 cifre semnificative aparand pe display. Daca insa numarul afisat x este in valoare absoluta este mai mic decat 0.000000001, sau mai mare decat 999999999 atunci numarul de cifre ce trebuie afisate devine mai mare de 10 si deci in sistemul de reprezentare in virgula mobila afisarea valorii corecte a numarului nu mai este posibila. Atunci se face automat trecerea la sistemul de afisare in notatie stiintifica: mantisa (10 cifre) si exponent(2 cifre).

Mantisa numarului consta din cele mai semnificative cifre ale numarului (maxim 10) cu punctul zecimal amplasat dupa prima cifra.

Exponentul reprezinta puterea lui 10 cu care trebuie inmultita mantisa pentru a obtine numarul original.

Simbolurile nu sunt afisate permanent ele fiind indicatori ai diferitelor moduri de lucru ale calculatorului:

  • 2ndF : Apare atunci cand tasta de selectie a celei a doua functii [2ndF] a fost apasata.
  • DEGRAD : Permite afisarea simbolurilor DEG/RAD/GRAD care indica modul curent de reprezentare a unghiurilor:
    • DEG - in grade sexagesimale
    • RAD - in radiani
    • GRAD- in grade centisimale.

    Permanent este afisat unul din acesti indicatori care indica unitatea de masura ale unghiurilor selectata curent (grade sexagesimle, radiani sau grade centesimale) si se schimba de fiecare data cand tasta [DRG] este apasata.

    DRG (3K)

  • ( ): Cand este afisat indica faptul ca una sau mai multe paranteze sunt deschise. Dupa ce se inchide si ultima paranteza simbolul nu mai este afisat pana cand nu se deschid una sau mai multe paranteze noi.
  • BIN : Apare cand este selectat modul de lucru binar (in baza 2).
  • OCT: Apare cand este selectat modul de lucru octal (in baza 8).
  • HEX: Apare cand este selectat modul de lucru hexazecimal (in baza 16).
  • ED : Indica selectarea modului de lucru editare (La apasarea in modul de lucru statistic a tastei [EDIT] pentru editarea datelor statistice).
  • HYP : Indica apasarea tastei [HYP] pentru acces la functiile hiperbolice.
  • CPLX : Indica selectarea modului de lucru cu numere complexe.
  • STAT : Indica selectarea modului de lucru statistic.
  • σ : Indica faptul ca numarul de pe display este deviatia standard a populatiei(calculata in modul statistic apasand tasta [2ndF][σ]).

INTRODUCEREA DATELOR

Asa cum am aratat mai sus, in mod normal Canon F-604 opereaza cu un punct zecimal flotant (virgula mobila). In timp ce sunt introduse cifrele partii intregi a mantisei punctul zecimal ramane fixat in partea dreapta a display-ului. Apasarea tastei [.] marcheaza inceputul introducerii partii fractionare a numarului. Pe masura ce sunt tastate cifrele partii fractionare punctul zecimal se deplaseze spre stanga.

f604BS (1K)

p>

Pe toata durata introducerii numarului este posibila stergerea ultimelor cifre introduse prin apasarea tastei de editare [>](back-space):

Taste apasate    Afisaj    
[1][2][.][2][4]12.24
[>][>]12.
[3][4]12.34
[+/-]-12.34

Nu pot fi introduse numere cu mai mult de 10 cifre. Toate apasarile de taste numerice [0]...[9] dupa ce au fost deja introduse 10 cifre sunt ignorate.

Un numar introdus gresit poate fi corectat apasand tasta [CE] (CLEAR ENTRY), toate cifrele sale fiind sterse si pe display afisat numarul 0. Dupa apasarea tastei [CE] si stergerea numarului se poate continua introducerea corecta a numarului.

Taste apasate    Afisaj    
[1][2][.][3][4]12.34
[+/-]-12.34
[CE]0
[3][4][.][5][6]34.56

Apasarea tastei [+/-] determina schimbarea semnului numarului introdus dar nu finalizeaza introducerea acestuia, dupa apasarea ei putand fi tastate in continuare alte cifre care vor fi adaugate la coada sau actionata tasta de corectie [C].

Introducerea numarului este finalizata la apasarea oricarei taste asociate cu o operatie aritmetica ([+], [-], [×], [÷], [%], [=]), o functie (sin, cos, etc.), sau stocarea in registrul de memorie independenta M ([Min], [M+])).

Daca numarul a fost introdus gresit, dupa finalizare, nu mai este posibila corectia prin apasarea tastei [CE], trebuind sa fie anulate toate operatiile introduse pana in acel moment prin apasarea tastei [ON/C] (ALL CLEAR]si reluat .

La numerele negative semnul minus este afisat imediat inaintea primei cifre a numarului si este flotant, deplasandu-se spre stanga odata cu deplasarea acesteia pe masura ce noi cifre sunt adaugate la coada.

ATENTIE! O greseala frecventa este apasarea tastei [-] care reprezinta operatia aritmetica de scadere in locul tastei [+/-] reprezentand operatia de schimbare de semn.

Desi displayul permite afisarea a maximum 10 cifre ale numarului, intern numerele sunt reprezentate avand mantisa de 12 cifre din care doar primele 10, cele mai semnificative, sunt afisate.

Deoarece nu este posibila introducerea unui numar cu 12 cifre, astfel de numere pot fi introduse numai prin sumarea a doua numere:

EnterPress    Display    
1234567890[+]1234567890.
.54[=]1234567891.

Rezultatul adunarii este reprezentat in memorie cu 12 cifre, fiind 1234567890.54. Pe display sunt afisate doar primele 10 cifre din cele 12, ultima fiind rotunjita dupa regula 5/4:
- daca in reprezentarea interna cifra imediat urmatoare ultimei cifre de afisat (a 10-a in cazul nostru) este mai mare sau egala cu 5, ultima cifra afisata este rotunjita cu 1.
- Daca cifra imediat urmatoare ultimei cifre de afisat este 4 sau mai mica decat 4 atunci ultima cifra afisata nu este rotunjita.

In cazul nostru, cifra urmatoare ultimei cifre de afisat (0) este 6. Deoarece 6 > 5, cifra afisata este ultima cifra de afisat rotunjita cu 1 (de la 7 la 8).

Daca de exemplu am fi adunat la 1234567890. numarul .45 in loc de .54 rezultatul afisat ar fi fost 1234567890.

Scopul reprezentarii interne pe un numar mai mare de digiti decat sunt afisate pe dispaly este de a mari precizia de calcul. In acest fel erorile de calcul vor afecta in primul rand ultimile doua cifre ale reprezentarii interne a rezultatului si nu vor fi vizibile in rezultatul afisat pe display.

De exemplu fractia 1/3 reprezentata ca fractie zecimala este 0.(3) - o fractie periodica, avand un numar infinit de zecimale toate egale cu 3. Calculatorul, avand o precizie finita si neputand memora un numar infinit de cifre la calculul impartirii 1 ÷ 3 va retine in memorie doar 12 cifre ale mantisei rezultatului: (3.33333333333 10-01).

De aceea desi teoretic 1 ÷ 3 × 3 = 1, incercand sa calculam aceasta expresie cu calculatorul va rezulta ca 1 ÷ 3 &rArr 3.33333333333 10-01 iar 3.33333333333 10-01 × 3. &rArr 9.99999999999 10-01

Daca displayul ar fi avut mai mult de 12 digiti toate cifrele rezultatului ar fi afisate, pe display aparand 0.999999999999 si nu 1. care este rezultatul exact.

Daca insa se afiseaza doar 10 cifre din cele 12 ale rezultatului cu aplicarea rotunjirii dupa regula 5/4 pe display este afisat 1 desi in memorie acest numar are in continuare valoarea aproximativa 0.999999999999 rezultata din calcul.

Un caz particular legat de introducerea datelor este tastarea numarului π care este folosit foarte des in calculele stiintifice si tehnice.

Numarul π este irational, avand o infinitate de zecimale. Cu toate acestea, in multe cazuri este suficienta utilizarea valorii sale aproximative 3.14 sau a numarului rational 22/7 = 3.142857... folosita inca din antichitate ca substitut al numarului irational π= 3.1415926535.... Utilizarea aproximatiei cu doua zecimale exacte este acceptabila daca si ceilalti operanzi au acelasi numar de cifre semnificative (3) sau mai putine.

De exemplu daca avem de calculat volumul de pamant excavat dintr-o groapa de 375 de cm diametru si 255cm adancime (dimensiuni obtinute prin masurarea cu ruleta cu o precizie de ± 1.0 cm) pentru a stabili cate camioane sunt necesare pentru a transporta pamantul excavat, acesta e dat de expresia:

V = (3.14 × 3.75 2 ÷ 4) × 2.55 [m 3 ]

In acest caz numarul de cifre semnificative ale operanzilor si al aproximatiei lui π este acelasi: 3.

EnterPress    Display    
[ON/C] [(]0.
3.14[×]3.14
3.75[x2][÷]44.15625
4[)][×]11.0390625
2.55[=]28.14960938

Rezultatul afisat de calculator 28.14960938 trebuie aproximat la 28.1 m3. Restul zecimalelor rezultatului nu au relevanta datorita impreciziei masuratorilor si aproximarii numarului π doar cu doua zecimale exacte.

In acest caz, avand in vedere natura problemei si obiectivul urmarit precizia este foarte buna. Daca insa este vorba de evaluarea unor expresii a caror operanzi sunt numere cu un numar mare de cifre semnificative (masuratori obtinute cu aparate de mare precizie) si se doreste obtinerea unui rezultat cu o precizie mare atunci lucrurile se schimba.

Folosirea in calcule a numarului π exprimat cu doar doua zecimale exacte ar reduce precizia rezultatului la doar doua zecimale exacte ceea ce face inutila efectuarea masuratorilor cu precizie foarte mare ceea ce este inacceptabil.

O solutie este folosirea in locul lui 3.14 a unei formule empirice miraculoase cum ar fi cea descoperita de matematicianul si astronomul chinez Zu Chongzh (429-500).

El recomanda folosirea in calcule a numarului rational 355/113 a carei valoare aproximeaza numarul π cu 6 zecimale exacte:

355 ÷ 177 = 3.14159292...

Pe de alta parte, introducerea repetata a primelor 10 cifre ale numarului π (3.141592654) este o operatie consumatoare de timp. Din acest motiv, toate calculatoarelor stiintifice incepand cu primul HP-35 au prevazuta o tasta [2ndF][π] a carei apasare introduce numarul π cu atatea cifre exacte cate permite arhitectura calculatorului.

Nici Canon F-604 nu se abate de la aceasta regula. Apasand tasta [2ndF] [π] numarul 3.1415926536 (11 cifre exacte) este introdus ca operand. Pe display apare 3.141592654 fiind afisate numai primele 10 cifre ale reprezentarii interna de 12 cifre, (ultima rotunjita la 4 conform regulei 5/4).

Acest lucru se poate verifica introducand urmatoarea secventa:

EnterPress    Display    
[2ndF][π]3.141592654
3.141592653[-]5.9 -10

Deci diferenta dintre numarul π introdus prin apasrea tastei [2ndF][π] si numarul 3.141592653 introdus cifra cu cifra este 0.00000000059 (6. ⋅ 10 -10).

Rezulta ca de fapt reprezentarea interna, pe 12 cifre a numarului introdus prin apasarea tastei [2ndF][π] este 3.14159265359 si nu 3.141592654 cat a fost afisat pe display.

Utilizarea tastei [2ndF][π] asigura o precizie mai buna, numarul introdus avand 12 cifre exacte si nu 10 cate am putea tasta daca am introduce numarul π cifra cu cifra de la tastatura.

INTRODUCEREA SI AFISAREA DATELOR IN NOTATIE STIINTIFICA

Se stie ca unda electromagnetica se propaga in vid cu viteza de aproximativ trei sute de milioane de metri pe secunda si ca lungimea de unda a radiatiilor electromagnetice este data de formula:

λ = c / ν

unde c este viteza luminii iar &nu este frecventa. In baza acestei formule, frecventa unei radiatii cu lungimea de unda λ = 875 nm o putem calcula cu relatia:

ν = c / λ

Cand am trece insa la calcule ar fi foarte incomod sa scriem ca

ν = 300000000 / 0.000000875 = 343 000 000 000 000 Hz.

In cercetarea stiintifica si inginerie se foloseste pentru reprezentarea numerelor foarte mari (cum ar fi viteza luminii) sau foarte mici (cum ar fi lungimea de unda a radiatiei electromagnetice exprimata in metri sau masa electronului) o notatie speciala numita notatia stiintifica sau exponentiala. Notatia stiintifica este bazata pe puteri ale numarului de baza 10 numerele fiind exprimate ca un produs dintre un coeficient numit mantisa, avand valoarea absoluta cuprinsa intre 1 si 9 el fiind format din cifrele semnificative ale numarului cu punctul zecimal plasat imediat dupa prima cifra, (avand deci forma standard - normalizata - ±n.zzzz... unde 1 ≤ n ≤ 9) si o putere a lui 10 numita baza: 10±mm....

Astfel numarul 343 000 000 000 000 se exprima in notatie stiintifica in felul urmator:

Cifrele semnificative ale numarului sunt 3, 4 si 3, zerourile avand doar rolul de a pozitiona aceste cifre in raport cu punctul zecimal in functie de unitatea de masura. Daca exprimam frecventa in KHz ea ar fi fost 343 000 000 000 iar expimata in GHz 343 000 000. In toate cazurile cifrele semnificative sunt trei: 3, 4, si 3. Pozitionarea lor fata de punctul zecimal se face prin adaugare de zerouri intre punctul zecimal si cifre. (Similar lungimea de unda exprimata in nanometri este 845, dar daca o exprimam in microni este 0.845. Exprimata in mm aceeasi lungime de unda este 0.000845, in cm 0.0000845 iar in metri 0.000000845. In toate cazurile cifrele semnificative sunt trei: 8, 4, si 5. Pozitionarea lor fata de punctul zecimal se face prin adaugare de zerouri intre punctul zecimal si cifre.)

Mantisa numarului este deci 3.43 iar baza 1014. Numarul 343 000 000 000 000 in notatie stiintifica se scrie ca: 3.43⋅1014. In locul acestei notatii se mai foloseste (mai ales de catre ingineri si programatori) notatia 3.43E14 sau 3.43e14.

Folosind notatia stiintifica expresia noastra devine:

ν = 3⋅108 / 8.75⋅10-7 = 3.43⋅1014 Hz.

sau:

ν = 3.E8 / 8.75E-7 = 3.43E14 Hz.

sau:

ν = 3.e8 / 8.75e-7 = 3.43e14 Hz.

Canon F-604 permite introducerea numerelor in format exponential astfel:

  • Se introduce mantisa si daca aceasta este negativa semnul acesteia (apasand tasta [+/-]).

    ATENTIE! O greseala frecventa este apasarea tastei [−] pentru schimbarea semnului numarului afisat ceea ce este incorect. Pentru schimbarea semnului trebuie apasata tasta [+/-] care determina efectuarea operatiei de schimbare a semnului numarului afisat, in timp ce apasarea tastei [−] determina efectuarea operatiei de scadere a numarului afisat (continut de registrul acumulator) din numarul memorat in registrul de lucru Y, rezultatul fiind stocat in X vechea valoare fiind suprascrisa ceea ce este in majoritatea cazurilor (cand Y nu este nul) la rezultate eronate.

  • Dupa introducerea mantisei se apasa tasta [EXP].

  • Se introduce exponentul si daca acesta este negativ, semnul acestuia (apasand tasta [+/-]).

Astfel, pentru calculul frecventei din exemplul nostru se introduce secventa:

EnterPress    Display    
[ON/C]0.
3[EXP]3. 00
83. 08
[÷]300000000.
8.75[EXP]8.75 00
7[+/-]8.75 -07
[=]3.42857142914

Daca numerele ce pot fi exprimate pe zece cifre (avand valori absolute cuprinse intre 1.e-9 si 9999999999.) pot fi introduse optional fie in virgula flotanta, fie in format exponential, orice numar mai mic decat |± 1 ⋅ 10 -9| sau mai mare decat |± 9999999999.| nu poate fi introdus altfel decat in format exponential deoarece are mai mult de 10 cifre si nu incape pe display.

La finalizarea introducerii numarului (prin apasarea tastei unei operatii, functii, etc.), rezultatul este afisat in virgula mobila (daca acest lucru este posibil).

De exemplu tastarea secventei 1.2 [Exp] 9 [=] va determina afisarea pe display a numarului 1200000000.

Numerele ce nu pot fi afisate in formatul virgula mobila (modul normal de afisare cu punct zecimal flotant)sunt afisate automat folosind notatia stiintifica.

snotdisplay (12K)

De asemenea, rezultatele mai mici decat |± 1 ⋅ 10 -9| sau mai mari decat |± 9999999999.| sunt afisate automat in notatia stiintifica. Asa s-a intamplat in cazul frecventei calculate in exemplul anterior. Daca 3.e8 a fost afisat dupa introducere in virgula mobila (300000000.) deoarece necesita pentru afisare numai 9 cifre (|± 1 ⋅ 10 -9| < 300000000. < |± 9999999999.|), frecventa rezultata din calcul 3.428571429 ⋅ 10 14 ar fi necesitat pentru afisare in virgula mobila 15 cifre. De aceea ea a fost afisata automat in notatie stiintifica pentru a incapea pe cele 10 cifre ale display-ului.

Afisarea implicita a rezultatelor in virgula mobila, fiind afisate si cifrele nesemnificative, poate duce la o scadere a preciziei. Astfel daca rezultatul este 0.000000004725, el va fi afisat in virgula mobila 0.000000004, fiind afisate 9 zerouri nesemnificative dar in schimb lipsind de pe dispaly 3 cifre semnificative (7, 2 si 5):

EnterPress    Display    
[ON/C]0.
0.000000001[+]0.000000001/td>
3.725[EXP]3.725 00
9[+/-]3.725 -09
[=]0.000000004
Intern rezultatul este in format exponential mantisa avand pana la 12 cifre semnificative iar pentru exponent 2. Prin urmare, in cazul din exemplul de mai sus, rezultatul este reprezentat intern ca fiind 4.725e-9. Pierderea de precizie este cauzata de modul de afisare in virgula mobila care presupune afisarea tuturor cifrelor numarului, intai a cifrelor partii intregi (0 in cazul nostru) urmate de punctul zecimal si apoi a cifrelor partii fractionare, atat semnificative cat si nesemnificative. Astfel sunt afisate 8 zerouri nesemnificative iar cand se ajunge la afisarea si a cifrelor semnificative nu mai este loc pe display decat pentru una (4). restul de trei cifre raman neafisate.

Pentru astfel de situatii Canon F-604 permite comutarea modului de afisare din/in virgula mobila in/din format exponential (notatie stiintifica) prin apasarea succesiva a tastei [F↔S]:

EnterPress    Display    
[ON/C]0.
0.000000001[+]0.000000001/td>
3.725[EXP]3.725 00
9[+/-][=]0.000000004
[F↔S]4.725 -09
[F↔S]0.000000004

Am vazut ca nu toate cifrele unui numar sunt semnificative. Astfel daca exprimam 12.5 cm in microni obtinem 125000μ. Aceeasi lungime exprimata in metri este 0.125m iar in kilometri 0.000125. Faptul ca reprezentarea in microni (125000) are 6 cifre sau cea in km (0.000125) are 7 cifre, nu face ca acestea sa fie mai precise decat lungimea reprezentata in cm (12.5) sau in mm (125) care au numai 3 cifre. In toate cazurile numarul de cifre semnificative este 3, restul de cifre (zerouri) avand doar rol de pozitionare a cifrelor semnificative fata de punctul zecimal.

Regulile dupa care determinam care cifre ale unui numar sunt semnificative si care nu sunt:

  • Cifrele de la 1 la 9 sunt intotdeauna semnificative(de exemplu 123).

  • Zerourile amplasate intre doua cifre semnificative sunt intotdeauna semnificative (de exemplu 120003)

  • Zerourile amplasate la dreapta punctului zecimal si a cifrelor semnificative sunt semnificative (de exemplu 123.000 sau 12.3000) deoarece daca nu ar fi, nici nu ar trebui sa fie scrise.

    Daca au fost scrise acest lucru s-a facut pentru a arata ca se stie cu certitudine ca primele trei cifre zecimale ale numarului sunt zero.

  • Zerourile folosite pentru pozitionarea cifrelor semnificative fata de punctul zecimal nu sunt semnificative ( de exemplu 123000000. sau .000000123)

Numarul de cifre semnificative ale numarului este strict legat de masurare.

sigfig1 (5K)

De exemplu daca dorim sa calculam lungimea cercului din figura de mai sus trebuie sa masuram intai diametrul acestuia.

Daca se foloseste pentru masurare o rigla gradata, precizia masuararii este data de precizia riglei folosite. Astfel la masurare ar putea fi folosita o rigla gradata in centimetri ca in cazul exemplului de mai jos:

sigfig0 (6K)

Citind valoarea masurata pe a ceasta rigla pot spune ca diametrul cercului este aproximativ 4,4 cm. Daca altcineva ar face citirea ar putea opinia ca diametrul are 4,3 cm iar o a treia persoana ar sustine ca are 4,5 cm. Este clar ca daca de prima cifra a marimii masurate (4) putem fi siguri, de cea de a doua (3, 4 sau 5) lucrurile sunt discutabile.

A doua cifra este estimata de fiecare persoana in parte si pentru a impaca pe toata lumea spunem ca diametrul masurat al cercului este de 4,4 ±0,1 cm.

Daca folosim o rigla gradata in milimetri pentru a masura diametrul aceluiasi cerc obtinem:

sigfig (8K)

De data aceasta pot afirma ca diametriul are 4,36 cm. Altcineva ar putea insa indica valoarea 4,35 cm iar o atreia persoana ar citi pe rigla valoarea 4,37 cm.

Este clar ca acum disputa este in privinta celei de a treia cifre a numarului primele doua fiind clar pentru toat lumea ca sunt 4,3. A treia cifra este insa din nou una estimata si va trebui sa cadem de acord ca valoarea masurata este 4,37 ±0,01 cm.

Regula generala este ca eroarea de citire pe un aparat cu scala gradata este ±1/10 din valoarea celei mai mici diviziuni a scalei.

Astfel in cazul riglei gradate in centimetri, diviziunile cele mai mici (si singurele) sunt de 1cm eroarea de masurare este ±1/10⋅1cm = ±0,1 cm.

In cazul celei de a doua rigle, diviziunea minima este de 0,1 cm (1mm)si deci eroarea de masurare este ±1/10⋅0,1cm = ±0,01 cm.

In orice masurare numarul de cifre semnificative este critic. Acesta este numarul de cifre pe care persoana care face masurarea le considera a fi corecte si include atat cifrele exacte (sigure) cat si cifra estimata.

In concluzie, numarul de cifre semnificative este legat direct de masurare. daca persoana care face masuratoarea considera ca doua cifre semnificative sunt satisfacatoare pentru calculul marimii pe care vrea sa o determine va folosi rigla gradata in centimetri. Daca are insa nevoie de o masurare cu trei cifre semnificative va folosi rigla gradata in milimetri.

Calculand lungimea cercului folosind prima masurare (cu 2 cifre semnificative) se obtine L = π⋅4.4 = 13.82300768 cm.

EnterPress    Display    
[ON/C][2ndF][π][×]3.141592654
4.4[=]13.82300768

Daca insa am fi folosit la calcul D = 4,4 - 0.1 = 4,3 cm am fi obtinut L = 13.50884841

EnterPress    Display    
[ON/C][2ndF][π][×]3.141592654
4.3[=]13.50884841

Folosind la calcul D = 4,4 + 0,1 = 4,5 cm obtinem L = 14.13716694

EnterPress    Display    
[ON/C][2ndF][π][×]3.141592654
4.5[=]14.13716694

Astfel, desi am obtinut rezultate cu 8 cifre dupa virgula, numai prima cifra este aceeasi la toate trei. A doua cifra este discutabila iar cifrele de dupa virgula practic nu au nici o semnificatie. Degeaba am folosit la calcul numarul π cu 8 zecimale, rezultatul este grevat de imprecizia masurarii diametrului.

Putem spune ca L = 13.82300768 ± π/10 = 13.82300768 ± 0.3141592654

Deci cifrele de dupa virgula fiind afectate de eroarea de masurare nu sunt semnificative putand fi in relitate oricat. Rezultatul are ca cifre semnificative primele doua (13), Prima exacta si cea de a doua aproximativa 3 ± 1. adica:

L = 13 ±1.

Daca repetam calculele folosind masuratorile cu rigla gradata in milimetri obtinem:

L = π⋅4.36 = 13.69734397 cm.

EnterPress    Display    
[ON/C][2ndF][π][×]3.141592654
4.36[=]13.69734397

L = π⋅4.37 = 13.7287599 cm.

EnterPress    Display    
[ON/C][2ndF][π][×]3.141592654
4.37[=]13.7287599

L = π⋅4.35 = 13.66592804 cm.

EnterPress    Display    
[ON/C][2ndF][π][×]3.141592654
4.35[=]13.66592804
Adica rezultatele difera incepand de la a 3-a cifra.

L = 13.69734397 ± π/100 = 13.82300768 ± 0.03141592654

Deci numarul de cifre semnificative este 3 (2 exacte: 13, si una aproximativa 6 ± 1 Restul cifrelor rezultatului nu sunt semnificative putand fi in realitate oricat) adica:

L = 13.6 ±0.1

Exprimarea rezultatului masuratorilor in metri sau microni si nu in centimetri nu imbunatatesc precizia: D= 4.37cm = 0,0437m = 43700μ

Faptul ca numerele D = 0,0437m si D = 43700&mu au 5 cifre nu schimba situatia, ele avand in continuare doar trei cifre semnificative, cifrele de zero adaugate avand doar rolul de pozitionare a cifrelor semnificative fata de virgula zecimala in functie de unitatea de masura, dar nu afecteaza in nici un fel precizia rezultatului.

Daca dorim un rezultat cu mai multe cifre semnificative trebuie sa folosim un instrument de masura mai precis decat rigla gradata in milimetri cum ar fi sublerul are permite masuratorea cu 4 cifre semnificative :

subler (18K)

Sublerul masoara 2 zecimale exacte iar a treia, citita pe vernier este aproximativa.

De exemplu eu as putea sustine ca diviziunile de pe vernier si partea fixa a sublerului se suprapun la diviziunea 7. Altcineva ar considera ca ele se suprapun la 6,5 iar altcineva ar putea sustine ca ele coincid la 7,5. Dimensiunea unei diviziuni a vernierului este de 0,05mm (inscrisa pe vernier). Deci eroarea de masurare este ±0,05 mm si afecteaza cea de a 3-a zecimala a masuratorii rezultatul fiind cuprins intre 4,365 si 4,375 cm.

Deci numarul total de cifre semnificative ale diametrului D masurat va fi de 4. Pentru a obtine lungimea cercului cu mai mult de 4 cifre semnificative va trebui sa folosim micrometrul care ofera o eroare de masurare si mai mica.

SELECTIA NUMARULUI DE ZECIMALE AFISATE

Uneori este de dorit sa se limiteze numarul de zecimale afisate. De exemplu in calcule financiare numarul de zecimale afisate este de regula 2. De asemenea cand rezultatele calculelor urmeaza sa fie inscrise intr-un tabel, numarul de zecimale iarasi este de dorit sa fie acelasi pentru toate valorile de pe o coloana a tabelului.

In modul normal de afisare, in virgula flotanta, numarul de zecimale afisate este variabil, in functie de cate zecimale are efectiv rezultatul:

Exemplu: 1.5 × 2.5 × 3.5 × 4.5 × 5.5 = 324.84375
EnterPress    Display    
1.5[×]1.5
2.5[×]3.75
3.5[×]13.125
4.5[×]59.0625
5.5[=]324.84375

Se poate schimba modul de afisare astfel incat punctul zecimal sa nu mai fie flotant (mobil), fiind fixat pe display pe o pozitie prestabilita, rezultatele avand astfel mereu afisat acelasi numar de zecimale. Daca un rezultat are mai putine zecimale decat numarul fixat, atunci valoarea afisata este completata la dreapta cu atatea zerouri cate sunt necesare pentru a atinge numarul fixat de zecimale. Evident aceasta nu afecteaza valoarea numarului (1.5 = 1.500).

Daca numarul de zecimale a rezultatului este mai mare decat numarul de zecimale fixat, partea sa fractionara este trunchiata la numarul fixat de zecimale, ultima cifra rotunjindu-se dupa regula 5/4.

Desi afisate uneori cu mai putine zecimale, deci cu mai putine cifre si cu o precizie mai mica, intern numerele sunt reprezentate tot pe 12 cifre ca si in modul normal de afisare, precizia calculelor nefiind afectata in nici un fel de modul de afisare stabilit.

Trecerea in acest mod de afisare cu punctul zecimal fixat si stabilirea numarului de zecimale afisate se face tastand tastele [2ndF][FIX] urmata de apasarea unei tasta numerice [0]...[9] pentru a indica numarul de zecimale dorit.

Revenirea la modul normal de afisare se face apsand tastele [2ndF][FIX][.].

Exemplu: 1.5 × 2.5 × 3.5 × 4.5 × 5.5 = 324.844
EnterPress    Display    
[2ndF] [FIX] [3] 0.000
1.5[×]1.500
2.5[×]3.750
3.5[×]13.125
4.5[×]59.063
5.5[=] 324.844
[2ndF] [FIX] [.] 324.84375

Uneori rezultatele obtinute in acest mod pot fi usor derutante. De exemplu dupa setarea modului de afisare in virgula fixa cu doua zecimale ([2ndF] [FIX] [2]) 0.01 ÷ 2 va da ca rezultat tot 0.01. Desi in reprezentarea interna rezultatul este 0.005, la afisare el este rotunjit la 0.01 deoarece conform regulei 5/4 a treia cifra zecimala este 5 &le 5.

De asemenea 0.01 ÷ 4 va da ca rezultat 0.00 deoarece 0.0025 nu mai este rotunjit a treia cifra zecimala este 2 &le 4.

Modul de afisare selectat (normal - in virgula mobila, sau cu numarul de zecimale fixat se pastreaza si pe perioada cat calculatorul este oprit. La pornire, modul de afisare va fi acelasi ca si inainte de oprire. Dupa RESET calculatorul porneste implicit in modul de afisare normal.

CONVERSIA DATELOR IN UNITATI INGINERESTI

Sistemul International de unitati de masura (SI) are la origine sistemul metric.

La SI au aderat oficial toate statele lumii inclusiv cele anglofone cum ar fi SUA, Anglia, Canada, India, Australia care in mod traditional folosisera pana de curand sisteme de unitati de masura FPS (foot, pound, secunda) - sistemul imperial de unitati de masura utilizat in trecut pe tot teritoriul imperiului Britanic. Spre deosebire de sistemul FPS - un sistem arhaic, cladit de-a lungul secolelor si folosind ca etaloane dimensiuni ale unor instrumente agricole primitive, seminte de plante, etc. - sistemul metric a fost conceput de cele mai luminate minti ale secolului XVIII. In 1789, La initiativa lui Ludovic al XVI si al Academiei Franceze de Stiinte un grup de savanti din care facea parte si Lavoisier a fost insarcinat sa dezvolte un sistem de unitati de masura modern, universal, natural si unitar.

Principiile formulate de Academia Franceza pentru a sta la baza noului sistem au fost:

  • - Unitatile de masura trebuie sa fie bazate pe marimi invariante din natura (nu pe dimensiunea unor unelte agricole sau organe umane ca in sistemul imperial Britanic).

  • - Multiplii si submultiplii sa fie zecimali (puteri ale lui zece sau fractii zecimale, nu sesimi, doisprezecimi, sferturi, jumatati, duzini, etc. ca in sistemul imperial Britanic)

  • - Sistemul trebuia sa aibe un numar minim de marimi de baza din care sa fie derivate celalalte marimi.

Astfel daca in sistemul imperial Britanic pentru masurarea lungimii se foloseau o multitudine de unitati cum ar fi inch-ul, piciorul(feet), yard-ul, rod-ul, lantul(chain), furlong-ul, mila, mila nautica, leghea, etc.ficare avand la baza dimensiuni instrumente agricole arhaice si membre umane, in sistemul metric exista o singura unitate de masura - metrul, definit initial ca fiind 1/40,000,000 din circumferinta polara a Pamantului , o marime naturala si in buna masura invariabila.

Avantajele noului sistem de masura au facut ca el sa fie adoptat cu usurinta de lumea stiintifica dar a fost (si este) greu de acceptat de populatia mai putin scolita careia ii era mult mai usor sa opereze cu fractii - jumatati, sferturi, treimi, sesimi, doisprezecimi, etc. specifice sistemului FPS, decat cu fractii zecimale care necesita ceva scoala. Relevanta in acest sens este poezioara de mai jos publicata de William Rankine in 1874:

A Song (c1874)

When I was bound apprentice, and learned to use my hands,
Folk never talked of measures that came from foreign lands:
Now I'm a British Workman, too old to go to school;
So whether the chisel or file I hold, I'll stick to my three-foot rule.

Some talk of millimetres, and some of kilogrammes,
And some of decilitres, to measure beer and drams;
But I'm a British Workman, too old to go to school,
So by pounds I'll eat, and by quarts I'll drink, and
I'll work by my three-foot rule.

A party of astronomers went measuring the earth,
And forty million metres they took to be its girth;
Five hundred million inches, though, go through from pole to pole;
So let's stick to inches, feet and yards, and the good old three-foot rule.

W. M. Rankine, "The Three-Foot Rule," Songs and Fables 1874.

Asa stateau lucrurile in 1874 dar nici in ziua de azi ele nu stau cu mult mai grozav. In Septembrie 1999 nava Mars Climate Orbiter s-a zdrobit in atmosfera planetei Marte in loc sa se plaseze pe orbita acesteia cum ar fi trebuit.

Explicatia este data chiar de NASA:

An investigation board concluded that NASA engineers failed to convert English measures of rocket thrusts to newton, a metric system measuring rocket force. One English pound of force equals 4.45 newtons. A small difference between the two values caused the spacecraft to approach Mars at too low an altitude and the craft is thought to have smashed into the planet's atmosphere and was destroyed.

De fapt, s-a intamplat ca echipa NASA de la Jet Propulsion Laboratory din Pasadena sa lucreze cu date exprimate in SI de unitati de masura (NASA fiind o agentie guvernamentala a SUA care oficial a aderat la SI). Pe de alta parte Sistemul de propulsie al lui Mars Climate Orbiter care era comandat de programele de pilotaj facute de echipa NASA, era elaborat de o echipa de ingineri ai Lockheed Martin - o binecunoscuta companie privata din Denver care nefiind o agentie guvernamentala continua cu nonsalanta si inalta mandrie patriotica sa foloseasca vechiul sistem de masura FPS.

Cele doua echipe nu s-au coordonat si asa se face ca dupa o calatorie de 286 de zile, cand nava a ajuns la destinatie, programul NASA a transmis sistemului de propulsie comanda sa franeze cu o anumita forta exprimata in newtoni dar sistemul de propulsie Lockheed a crezut ca este vorba de pound forta si a franat cu o forta de 4,45 ori mai mare.

Halal 'mica diferenta'!

orbiter (10K)
Mars Climate Orbiter

lander (9K)
Mars Polar Lander

Ca urmare nava a ajuns cu 100 km mai aproape de Marte decat trebuia si in loc sa se plaseze pe orbita a plonjat in atmosfera planetei sub un unghi prost, zdrobindu-se pur si simplu de aceasta si luand foc.

Si uite asa au ars 125 milioane de dolari SUA in atmosfera rarefiata a planetei rosii si a fost compromisa o misiune cosmica complexa. Rolul lui Mars Climate Orbiter era sa receptioneze si sa retransmita date de la un al doilea modul - Mars Polar Lander ce urma sa aterizeze pe suprafata planetei la scurt timp dupa ce Orbiter s-ar fi plasat pe orbita.

Ulterior NASA a anuntat ca misiunea lui Polar Lander nu va fi afectata de distrugerea lui Climate Orbiter. Totusi am unele indoieli in aceasta privinta.

Sistemul FPS nu este un sistem prost. Ba din contra, pe langa faptul ca este pitoresc, este in acelasi timp practic, intuitiv si usor de folosit pentru aplicatii tehnice fara sa necesite sa faci scoli inalte.

La urma urmei cele mai importante realizari tehnice ale ultimelor doua secole - primii zgarie-nori, primele motoare, vapoare, avioane, telefoane, bombe atomice, supersonice, tranzistoare, calculatoare, microprocesoare, si cate si mai cate alte minuni ale tehnicii au fost facute folosind acest sistem perfect valabil.

Jos palaria si tot respectul pentru inginerii britanici si americani!

Problema lui este lipsa standardizarii... Desi unitatile de masura folosite de americani au aceleasi nume cu cele folosite de britanici, ele difera ca dimensiuni.

Piulitele metrice europene nu se infileteaza pe suruburile americane si britanice.

In contextul globalizarii sistemul FPS nu poate supravietui.

Revenind la Sistemul International de unitati. Acesta are la baza doar 7 marimi fizice:

Unitati de baza SI
Nume Simbol Cantitate
metru m lungime
kilogram kg masa
secunda s timp
amper A curent electric
kelvin K temperatura termodinamica
mol mol cantitate de substanta
candela cd intensitatea luminoasa

Restul marimilor si unitatile lor de masura sunt derivate din aceste sapte marimi/unitati de baza.

Fiecarei marimi fizice ii corespunde o singura unitate de masura. Multipli si submultiplii unitatilor de masura sunt puteri ale lui zece exprimate printr-un prefix (majuscula desemnad puteri pozitive ale lui 10 pentru multipli si minuscula desemnad puteri negative ale lui 10 pentru submultipli).

Prefixarea unitatilor de masura SI
Prefix yotta- zetta- exa- peta- tera- giga- mega- kilo- hecto- deca-
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
Prefix deci- centi- milli- micro- nano- pico- femto- atto- zepto- yocto-
Simbol d c m n p f a z y
Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Se observa in acest tabel ca majoritatea prefixelor multiplilor corespund unei puteri pozitive a lui 10 multiplu de trei iar ai submultiplilor puteri negative ale lui trei. Avand afisata pe display valoarea unei marimi fizice apasand tasta [ENG] (de la engineering ) valoarea este afisata in format exponential (mantisa si exponent) astfel incat exponentul sa fie un multiplu a lui trei (inclusiv 00).

De exemplu tastand 1 [ENG] pe display este afisat 1 00. La urmatoarele apasari ale tastei [ENG] punctul zecimal este deplasat spre dreapta cu cate trei pozitii pozitii (eventual cu completare cu zerouri nesemnificative): 1000.-03, 1000000.-06, 1000000000.-09 - ceea ce corespunde prefixelor m, μ, n, p. Urmatoarele apasari ale tastei [ENG] nu mai au efect deoarece numarul de cifre al mantisei a atins valoarea maxima (10)

Exponentul este actualizat corespunzator (decrementat cu trei dupa fiecare apasare a tastei [ENG]). Astfel exponentul poate lua valorile 00, -03, -06, -09.

Apasarea repetata a tastei [ENG] are efect atat timp cat dupa deplasare mai este inca posibila afisarea numarului (mantisa are pana in 10 cifre).

Daca se apasa tastele [2ndF][ENG] punctul zecimal este deplasat spre stanga, eventual completandu-se cifrele mantisei de dupa punctul zecimal cu zerouri nesemnificative 0.00103, 0.00000106, 0.00000000109 ceea ce corespunde prefixelor k, M, G, T. Urmatoarele apasari ale tastei [2ndF][ENG] nu mai au efect deoarece numarul de cifre al mantisei a atins valoarea maxima (10)

Exponentul este actualizat corespunzator (incrementat cu trei dupa fiecare apasare a tastei [2ndF][ENG]). Astfel exponentul poate lua valorile 00, 03, 06, 09.

Apasarea repetata a tastei [ENG]/[2ndF][ENG] are efect atat timp cat dupa deplasare mai este inca posibila afisarea numarului (mantisa are pana in 10 cifre).

Acest mecanism poate ajuta la conversia rezultatelor obtinute in unitati ingineresti.

De exemplu daca am obtinut rezultatul 1.325e11 [Hz] prin apasarea tastei [ENG] pe display este afisat 132.5e09 ceea ce corespunde la 132,5 [GHz].

Similar pentru a converti 123456 metri in kilometri se tasteaza 123456 [ENG], pe display aparand 123.456e03 ceea ce corespunde la 123.456 km. Apasand inca de doua ori tasta [ENG] se obtine 123456000e-03 ceea ce corespunde la 123456000 mm.

PRIORITATEA OPERATIILOR, NIVELURI DE CALCULE

Canon F-604 permite efectuarea unor operatii elementare cum ar fi:

  • Calculul sumei 123 + 456: 123 [+] 456 [=] rezultand pe display 579.

  • Calculul radacinii patrate a lui 225: 225 [√] [=] rezultand 15.

  • Calculul lui 32.5: 3 [yx] 2.5 [=] rezultand 15.58845727

Pentru a combina mai multe operatii elementare in secvente de calcul mai complexe este nevoie de un set de reguli care sa stabileasca ordinea in care se efectueaza operatiile din secventa.

Aceste reguli se implementeaza stabilind o ierarhie a operatiilor, prin atribuirea fiecarei operatii a unei prioritati. Fara astfel de reguli expresia 5 × 4 + 3 × 2 ar putea avea mai multe semnificatii:

  • 5 × 4 + 3 × 2 = (5 × 4) + (3 × 2) = 26

  • sau 5 × 4 + 3 × 2 = 5 × (4 + 3) × 2 = 70

  • sau 5 × 4 + 3 × 2 = (5 × 4 + 3) × 2 = 46

  • sau 5 × 4 + 3 × 2 = 5 × (4 + 3 × 2) = 50

Evaluata dupa regulile din algebra, conform carora intai se efectueaza inmultirile si apoi adunarile expresia 5 × 4 + 3 × 2 are valoarea 26.

Daca se tasteaza pe un calculator de uz general secventa 5 [×] 4 [+] 3 [×] 2 [=] pe display este afisat rezultatul 46. Tastand aceeasi secventa pe un Canon F-604 rezultatul afisat este 26. Rezultatele diferite se explica prin ordinea diferita in care au fost executate operatiile de catre cele doua calculatoare.

Operatiile efectuate cu ajutorul calculatorului de uz general evalueaza de fapt expresia algebrica (5 × 4 + 3) × 2 = 46 iar cele cu Canon F-604 expresia algebrica (5 × 4) + (3 × 2) = 26

La calculatorul de uz general ordinea de efectuare a operatiilor din secventa 1 [+] 2 [×] 3 [=] nu este algebrica:

business_123 (2K)

Canon F-604 este un calculator algebric. Aceasta inseamna ca operatiile aritmetice se executa dupa aceleasi reguli care se aplica si in algebra la evaluarea expresiilor. In acest caz calculul aceleiasi secvente 1 [+] 2 [×] 3 [=] de catre El-501 se face aplicand regulile algebrice. Intai se executa operatiile aditive (+ si -) si apoi cele multiplicative (× si ÷):

srel501_123 (1K)

Deoarece prioritatea operatiei de inmultire × este mai mare decat a celei de adunare + executia acesteia din urma a fost amanata desi a fost introdusa anterior inmultirii. Ea este executata abia dupa ce se efectueaza inmultirea.

Prioritatea calculelor este determinata automat de catre calculator dupa cum urmeaza:

  1. Functii cu o variabila cum ar fi sin, ln, x² %, √, etc.
  2. Calculele in paranteze ()
  3. yx, x√y
  4. ×, ÷
  5. +, −
  6. =, M+ si alte operatii de finalizare a calculelor.

Exemplu:

op_priority (16K)

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
1[+]1.
4[×] 4.
3[yx] 3
1.5[x²]= 48.37866447

In acest exemplu operatia x² se efectueaza inaintea operatiei yx care are o prioritate mai mica.

Astfel secventa corespunde expresiei algebrice

1 + 4 × 3 1.5² = 48.37866447

si nu expresiei algebrice

1 + 4 × (31.5)²= 109

Trebuie observat ca datorita aplicarii regulilor algebrice de prioretizare a operatiilor, desi introdusa penultima, operatia x² este prima care se executa, imediat dupa ce a fost tastata, executia celorlalte operatii de prioritate mai mica fiind amanata.

Apasarea operatiei [=] determina finalizarea calculelor prin executia operatiei curente si apoi, in ordinea prioritatii, a tuturor operatiilor amanate.

La calculul expresiilor trebuie tinut cont de faptul ca la calculatorul Canon F-604 numarul maxim de operatii ce pot fi amanate este 3. Daca se depaseste acest numar (lucru posibil daca la calcul se folosesc si paranteze) calculatorul genereaza eroare.

La calculul expresiilor trebuie tinut cont si de urmatoarele reguli si limitari:

  • Operatiile cu acelasi nivel de prioritate se executa in secventa, pe masura ce sunt introduse:

    Exemplu: 1 + 2 − 3 + 4 = 4

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    1[+]1.
    2[−] 3.
    3[+] 0
    4[=]4.

    Exemplu: 1 ÷ 2 × 3 ÷ 4 = 0.375

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    1[÷]1.
    2[×] 0.5
    3[÷] 1.5
    4[=]0.375

    In aceste doua exemple, toate operatiile (cu exceptia operatiei [=] de finalizare a calculelor) avand prioritati egale, s-au executat succesiv, pe masura ce au fost introduse, nefiind nici una a carei executie sa fie amanata.

  • Daca sunt folosite parantezele () calculele cuprinse intre paranteze au prioritate fata de orice alte calcule. Intai se efectueaza operatiile din parantezele cele mai interioare.

    In timpul calculelor efective, calculele cu prioritate scazuta sau cele din parantezele exterioare sunt stocate in memorie, executia lor fiind amanata pana cand nu se executa calculele de prioritate mai mare sau finalizate calculele din parantezele interioare prin tastarea parantezei de inchidere [)]. Odata finalizate calculele pe nivelul curent, calculele de pe nivelurile a caror executie a fost amanata sunt readuse din memorie si procesate la randul lor.

    Pentru stocarea operatiilor amanate Canon F-604 are prevazuta o stiva de 6 registri L1, L2, ...L6. Astfel la un moment dat pot exista 5 operatii amanate si operatia curenta in curs de executie.

    In acest mod calculele sunt structurate pe niveluri:

    fx82_6niveluri (8K)

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    1[+]1.
    2[×] [(]0.
    30[sin] [+]0.5
    6[×] [(]0.
    2[+] 2.
    6[÷] 6.
    2[)] 5.
    [)] 30.5.
    2[=] 62.
  • La deschiderea unei paranteze, registrii de lucru Y si X sunt salvati in din registri L1..L6, din stiva de operatii si anulati, pe display fiind afisata vaoarea 0 continuta de registrul acumulator X.

    Daca se incearca deschiderea a mai mult de 15 paranteze, calculatorul va semnala eroarea afisand simbolul E in partea stanga a display-ului.

  • Incercarea de a evalua expresia 1 + 2 × ( sin(30°) + 6 × ( 2 + 6 ÷ (5 − 3 ))) = 62. introducand secventa

    1 [+] 2 [×] [(] [ 30 [sin] [+] 6 [×] [(] 2 [+] 6 [÷] [(] 5 [−] 3 [)] [)] [)] [=]

    se va solda cu eroare deoarece procesarea ei presupune amanarea executiei a 6 operatii - 7 niveluri de calcule - iar stiva de operatii nu are capacitatea de a stoca decat 6 niveluri de calcule :

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    1[+]1.
    2[×] [(] 0.
    30[sin] [+]0.5
    6[×] [(] 0.
    2[+] 2.
    6[÷][(] 6.
    5[−] E          0

    Exemplu: Urmatoarea expresie foloseste 4 niveluri de calcul si cinci paranteze incuibate:
    2 [×] [(] [(] [(] 3 [+] 4 [×] [(] [(] 5 [+] 4
    In tabelul urmator este aratat continutul stivei de registri ai operatiilor: la introducerea acestei expresii

    Registru    Calcul    
    x 4
    L1 (( 5 +
    L2 4 ×
    L3((( 3 +
    L42 ×
    L5
    L6

UTILIZAREA MEMORIEI

  • Registrii de lucru X si Y

    Pentru introducerea datelor si efectuarea calculelor Canon F-604 este prevazut cu doi registri de lucru X si Y.

    Datele sunt introduse in registrul X al carui continut este in permanenta afisat pe display.

    Operatiile cu un singur operand cum ar fi functiile (x²] [√], [³√], [ex],etc., se executa asupra operandului memorat in registrul X. Rezultatul este stocat tot in X ceea ce permite inlantuirea operatiilor prin utilizarea lui ca operand al operatiei urmatoare. Din acest motiv registrul X se mai numeste si acumulator.

    Pentru efectuarea operatiilor cu doi operanzi, cum ar fi toate operatiile aritmetice, functiile [yx], si [x√y], etc. este prevazut un al doilea registru de lucru Y. Dupa introducerea primului operand in registrul X si apasarea tastei operatiei, primul operand introdus este transferat in Y facand loc introducerii in X al celui de al doilea operand. Astfel de exemplu in urma tastarii secventei [2][yx][3] Y contine numarul 2 iar X numarul 3. Operatia [yx] este finalizata prin apasarea de exemplu a tastei [=]. Rezultatul (YX = 2³ = 8) este stocat in registrul X (suprascriind vechea valoare 3). Continutul registrului Y este anulat.

  • Memorarea unui numar in memoria independenta M

    Canon F-604 are prevazut un registru de memorie independenta M. La apasarea tastei [X→M] se memoreaza numarului afisat pe display (aflat in registrul de lucru acumulator X) in registrul de memorie independenta M suprascriind vechiul continut al acestuia. Daca M contine o data nenula in partea stanga a display-ului este afisat simbolul M indicand ca memoria nu este anulata (contine un numar diferit de zero).

    Atat timp cat continutul registrului de memorie independenta M este nenul, simbolul M ramane afisat pe display.
  • Sumarea in memoria independenta M

    Apasarea tastei [M+] determina finalizarea operatiilor de calcul in curs si a celor amanate de la executie, fiind echivalenta din acest punct de vedere cu apasarea tastei [=]) iar rezultatul obtinut (in registrul acumulator X afisat pe display ) il aduna la valoarea memorata in registrul de memorie independenta M. Ca urmare M va contine suma dintre valoarea continuta anterior si valoarea din registrul X afisata pe display.

  • Rechemarea datei stocate in memoria independenta M

    La apasarea tastei [MR] (Memory Recall)numarul memorat in registrul M este copiat in registrul X fiind si afisat pe display.

  • Anularea (stergerea) continutului memoriei indpendente M

    Anularea (stergerea) memoriei independente M se face prin simpla memorare a numarului 0 in acesta introducand de exemplu secventa [On/C][X→M]. Cat timp M este anulat (contine numarul 0) simbolul M nu este afisat in partea stanga a display-ului.

  • Pe langa memoria independenta F-604 dispune de 10 de registri de memorie m0..m9 pentru stocarea datelor si rezultatelor intermediare. Stocarea numarului continut in registrul X intr-unul din registrii de memorie m0..m9 se face apasand tasta [STO] urmat de numarul registrului [0]..[9]. Rechemarea in registrul X a numarului continut de un registru de memorie se face apasand tastele [2ndF][RCL] urmat de numarul registrului accesat [0]..[9].

    Exemplu: Se ameteca trei lichide A, B, C avand urmatoarele mase:

    LichidMasa
    [g]
    Procent
    [%]
    A125?
    B185?
    C190?
    TOTAL500100%
    Calculati raportul procentual al fiecarei componente in amestec. si completati coloana a treia a tabelului.
    R: In calculele de mai jos in mod intentionat nu am folosit operatii de calcul cu procente, acestea fiind discutate separat.
    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    125 [STO][0][x→M] 125.
    185 [STO][1][M+] 185.
    190 [STO][2][M+] 190.
    [2ndF][RCL][0][÷] [MR] 500
    [×] 0.25
    100 [=][STO][3] 25
    [2ndF][RCL][1][÷] [MR] [×] 0.37
    100 [=][STO][4] 37
    [2ndF][RCL][2][÷] [MR][×] 0.38
    100[=][+] 38
    [2ndF][RCL][3][+][2ndF][RCL][4][=] 100.

    Rezulta tabelul completat:

    LichidMasa
    [g]
    Procent
    [%]
    A12525
    B18537
    C19038
    TOTAL500100%

ANULAREA REGISTRILOR DE LUCRU

Pe langa operatiile [>] si [CE] care permit corectia erorilor la introducerea unui operand, Canon F-604 mai prevede tasta [ON/C]( Clear) care daca calculatorul este oprit, il porneste (ON) ir daca este pornit anuleaza cei doi registrii de lucru (asa numitul registrul acumulator X care pastreaza operanzi sau rezultate si al carui continut este afisat pe display, si registrul Y necesar in cazul operatiilor cu doi operanzi cum ar fi yx sau x√y sau calculele cu constante, procente, etc.) cat si registrii stivei de operatii L1...L6 in care sunt pastrate calculele de pe nivelurile de prioritate scazuta a caror executie a fost amanata.

Astfel, dupa apasarea tastei [ON/C] calculatorul are toti registrii de lucru initializati, fiind pregatit pentru introducerea unei noi expresii.

Daca la introducerea unei expresii se constata ca un operand sau o operatie a fost introdusa gresit, pentru corectie, intreaga secventa trebuie anulata apasand tasta [ON/C] si expresia reintrodusa din nou, de data aceasta cu datele corecte.

Daca secventa anterioara de calcule a fost introdusa doar partial si nu a fost finalizata (prin apasarea de exemplu a tastei[=]) este posibil sa existe memorate operatii a caror executie sa fi fost amanata pana la indeplinirea anumitor conditii.

Se poate intampla ca operatiile din noua secventa de calcul sa fie interpretate de calculator ca fiind continuarea secventei anterioare (nefinalizate) si la un moment dat sa fie create conditii pentru executia operatiilor amanate din secventa de calcul precedenta. Aceste operatii nu au nici o legatura cu noua secventa de calcul si executia lor va afecta corectitudinea calculelor obtinandu-se la final pe display un rezultat eronat.

De exemplu am de calculat expresia 1 + 2 × 3. Incep sa o introduc in calculator: Tastez 1 + 2 × 4 ... oops! am gresit, deci apas tasta [CE] (Clear Entry) care sterge ultimul operand introdus si pe display apare afisat 0.

In acest momenet intrerup lucrul sa-mi iau un suc din frigider.

Reintors la birou si uitand unde ramasesem cu introducerea secventei si vazand 0. afisat pe display o iau de la capat si reintroduc repede expresia 1 + 2 × 3 [=] si obtinand rezultatul 9 in loc de 6!

De fapt, chiar daca la momentul reintroducerii secventei de calcul pe display era afisat 0., secventa completa introdusa in calculator a fost 1 + 2 × 1 + 2 × 3 [=] unele operatii fiind duplicate pentru ca nu au fost anulate operatiile din prima secventa (subliniate in text) acestea fiind memorate ca amanate de la executie.

Pentru a obtine rezultatul corect, inainte de a incepe reintroducerea expresiei trebuia apasata tasta [ON/C] pentru initializarea registrilor de lucru.

Pentru evitarea unor astfel de situatii, de fiecare data cand se incepe o noua secventa de calcul, pentru siguranta, este bine ca aceasta sa inceapa cu operatia de anulare [ON/C].

Continutul registrul de memorie independenta M cat si a registrilor de memorie m0..m9 nu este afectat de operatia de anulare [ON/C].

CORECTIA OPERATIILOR

Daca o operatie s-a tastat gresit si nu este vorba de o functie cu o singura variabila care se executa imediat ce tasta a fost apasata, paranteze sau operatii care finalizeaza calculele ([=],[M+]),corectia poate fi facuta pur si simplu tastand din nou operatia corecta.

Exemplu: 3 + ³√8 = [3] [+] [8] [yx] [x√y] [3] [=]

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] 0.Anulare
3[+]3.
8[yx] [x√y] 8.Corectie
3[=]5.Finalizare calcule

Daca insa operatia gresita este o functie cu o singura variabila care se executa imediat ce tasta asociata ei a fost apasata, o paranteza ([(],[)]) sau o operatie care finalizeaza calculele ([=],[M+]) sau daca dupa operatia gresita s-a inceput introducerea unui operand, corectia nu mai este posibila.

Trebuie anulat totul apsand tasta [ON/C] si reintrodusa intreaga secventa de la inceput.

CALCULE CU PARANTEZE

Exista secvente de operatii pentru care trebuie sa indicati calculatorului ordinea precisa in care sa execute operatiile pentru a evalua corect problema si a produce rezultatul corect. De exemplu:

4 × ( 5 + 9 ) ÷ ( 7 − 4 )(2+3) = ?

Pentru a calcula aceasta expresie bazandu-ne doar pe ierarhizarea algebrica a operatiilor ar fi necesara parcurgerea multor pasi de calcul independenti. De asemenea trebuiesc retinute (notate separat, pe hartie) rezultatele intermediare obtinute in acesti pasi. In plus ordinea secventelor de calcul nu ar corespunde cu ordinea in care apar in expresie.

Avantajul folosirii parantezelor consta in posibilitatea de a obtine rezultate intermediare fara a finaliza toate calculele. Tastand secventa [(] 5 [+] 9 [)] se constata ca apasarea tastei [)] a determinat clculatorul sa evalueze expresia 5 + 9. Pe display apare afisat rezultatul 14 chiar daca tasta [=] de finalizarea calculelor nu a fost apasata.

Parantezele permit evaluarea separata a fiecarei 'sub expresii' dintre cele mai apropiate doua paranteze [(] si [)] si inlocuirea ei cu rezultatul intermediar obtinut.

Utilizand parantezele operatiile pot fi introduse in calculator exact asa cum apar scrise in expresia algebrica ce trebuie calculata.

Calculatorul tine minte fiecare operatie si evalueaza partea corespunzatoare a expresiei imediat ce informatia necesara evaluarii devine disponibila. Cand o paranteza [)] este introdusa intreaga secventa de operatii intre aceasta paranteza si cea mai apropiata paranteza deschisa [(] introdusa anterior este evaluata.

Exemplu: 4 × ( 5 + 9 ) ÷ ( 7 − 4 )(2 + 3) = ?

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
4[×] 4.
[(] 0.
5 [+] 5.
9[)] [÷] 14.
[(] 0.
7 [−] 7.
4 [)] [yx] 3.
[(] 0.
2 [+] 2.
3 [)] 5.
[=] 0.230452674

Cand se deschide o prima paranteza simbolul () este afisat in partea de sus a display-ului. Simbolul ramane afisat cat timp mai sunt paranteze deschise a caror pereche [)] nu a fost inca tastata.

Ori de cate ori se deschide o parateza pe display este afisat 0. (registrii de lucru ai calculatorului sunt salvati si initializati fiind astfel pregatiti pentru introducerea unei noi sub-expresii). La inchiderea parantezei, se finalizeaza calculul sub-expresiei introduse, restaurati registrii salvati aterior la deschiderea parantezei si rezultatul evaluarii inscris in registrul X, fiind afisat astfel pe display.

In secventa prezentata in exemplu inchiderea ultimei paranteze nu este obligatorie, putand fi introdusa direct operatia de finalizare a calculelor [=]:
EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
4[×][(] 0.
5 [+] 5.
9[)] [÷][(] 0.
7 [−] 7.
4 [)] [yx] [(] 0.
2 [+][=] 0.230452674

Numarul maxim de paranteze deschise este de 15. Numarul maxim de operatii a caror executie este amanata e 6. In exemplul urmator exista la un moment dat trei operatii amanate si una in curs de executie:

Exemplu: 5 + ( 8 ÷ ( 9 − ( 2 ÷ 3 ) ) ) = 5.96

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
5[+] 5.
[(] 0.
8 [÷] 8.
[(] 0.
9 [−] 9.
[(] 0.
2 [÷] 2.
3 3.
[)] 0.666666666
[)] 8.333333333
[)] 0.96
[=] 5.96

De cate ori este inchisa o paranteza [)], sub-expresia cuprinsa intre ea si cea mai apropiata paranteza deschisa [(] este evaluata si rezultatul afisat.

Daca nu vrem sa vedem rezultatele intermediare, nici in acest caz nu este obligatoriu sa se apese de trei ori tasta [)] pentru a inchide pe rand parantezele, putand fi apasata direct tasta [=] care va inchide parantezele si va finaliza toate calculele:

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
5[+] [(] 0.
8 [÷] [(] 0.
9 [−] [(] 0.
2 [÷] 2.
3 [=] 5.96

Pentru afisarea rezultatelor intermediare se pot prevedea paranteze chiar daca din punct de vedere algebric ele nu sunt necesare. Fie de exemplu expresia

expara (4K)

Ea nu poate fi calculata fara a folosi paranteze. Iata expresia cu parantezele necesare:

expara1 (4K)
EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
3[×] 3.
4 [yx] [(] 0.
2 [yx] [(] 0.
7 [2ndF] [x√y] 7.
4 [)] [+/-]-1.626576562
[)] 0.323855789
[=] 4.700043401

Pentru a afisa toate rezultatele intermediare, inclusiv cat este expara2 (1K), atunci mai trebuie adaugat un rand de paranteze desi din punct de vedere al prioritizarii operatiilor ele nu sunt necesare:

expara3 (4K)

EnterPress    Display     Comment
[ON/C] 0.
3[×][(] 0.
4 [yx] [(] 0.
2 [yx] [(] 0.
7 [2ndF] [x√y] 7.
4 [)] [+/-]-1.626576562-4√7
[)] 0.3238557892-1.626576562
[)] 1.56668113440.323855789
[=] 4.7000434013×1.566681134

CALCULE CU FRACTII

Canon F-604 permite introducerea datelor sub forma de fractii ordinare (d/c) si cu numere mixte (ab/c) si calcule cu astfel de date.

Pentru a aduna doua fractii 1/12 + 4/63 ele trebuiesc aduse intai la acelasi numitor:

12 = 22×3, 63 = 32×7 &rArr
c.m.m.c = 22×32×7 = 4 × 9 × 7 = 252
1/12 + 4/63 = (3 ×7 + 42)/252 = (21 +16)/252 = 37/252.

Putem insa sa ne folosim de calculator. O fractie se introduce sub forma unui numar mixt ab/c unde a este numarul intregilor si b/c partea fractionara.

Numerele a, b si c se introduc astfel:
- se tasteaza numarul a si se apasa tasta [ab/c]. Pe display apare afiasat numarul a si simbolul ⌋.
- se tasteaza numaratorul b si se apasa tasta [ab/c]. Pe display apare afiasat numarul a si b: a ⌋ b ⌋.
- se tasteaza numitorul c. Pe display apare afiasat tot numarul mixt ab/c: a U b ⌋ c

Daca a este 0 atunci el poate sa fie omis introducand numai numaratorul si numitorul b/c pe display fiind afisat: b ⌋ c.

Fractiile introduse astfel pot fi adunate, scazute, inmultite si impartite rezultatul fiind afisat tot sub forma de fractie. Conversia la fractie zecimala se face apasand tasta [ab/c] iar conversia inversa de la fractie zecimala la numar mixt apasand diun nou [ab/c]. Conversia de la numar mixt la fractie ordinara se face apasand [2ndF] [d/c] iar revenirea de la fractie ordinara la numar mixt/fractie zecimala [ab/c]

Astfel pentru a calcula 1/12 + 4/63 se introduce secventa:

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
1[ab/c] 1⌋.
12 [+] 1⌋12.
4 [ab/c] 4⌋.
63 4⌋63.
[=] 37⌋252.
[ab/c] 0.146825396
[2ndF][d/c] 37⌋252.

Exemplu: 81/9 + 63/72

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
8[ab/c] 8⌋.
1 [ab/c] 8U1⌋.
9 [+] 8U1⌋9.
63 [ab/c]63⌋.
72 63⌋72.
[=] 8U71⌋72.
[2ndF][d/c]647⌋72.
[ab/c] 8.986111111
[2ndF][d/c] 647⌋72.
[ab/c]8.986111111
[ab/c]8U71⌋72.

Exemplu: 253/2 (radacina patrata a lui 25 ridicata la cub 53)

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
25[2ndF][yx] 25.
3[ab/c] 3⌋.
2 3⌋2.
[=] 125.

CALCULE CU PROCENTE

Apasarea tastei [2ndF][%] converteste numarul introdus din procente in numar zecimal.

Exemplu: 43.9% = .439

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
43.9 [2ndF] [%] 0.439

Introducerea unei operatii aritmetice ([+], [&minus], [×] sau [÷]) urmat de [2ndF][%] permite calculul unui adaos, discount(reducere) sau procent:

n [+] p [2ndF] [%] [=] calculeaza p% din n si il aduna la n (adaos).

Exemplu: Care este pretul de desfacere al unui produs daca pretul la furnizor este de 15 Lei iar adaosul comercial de 5%?
R: 15.75 Lei

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
15 [+] 15.00Pret furnizor
5 [2ndF] [%] 0.75Adaosul comercial de 5%
[=] 15.75Pret desfacere

n [−] p [2ndF] [%] [=] calculeaza p% din n si il scade din n (reducere).

Exemplu: Care este pretul de cumparare al unui produs avand pretul de 15 Lei daca la vanzare se beneficiaza de o reducere de 5%?
R: 14.25 Lei

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
15 [−] 15.00Pret vanzare
5 [2ndF] [%] 0.75Reducerea de 5%
[=] 14.25Pret cumparare

n [×] p [2ndF] [%] [=] calculeaza p% din n (procent).

Exemplu: Care este valoarea in lei a TVA = 19% pentru un produs al carui pret de desfacere este de 15.75 Lei?
Cu alte cuvinte cat reprezinta 19% din 15.75 Lei ?
R: 2.85 Lei

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
15.75 [×] 15.75Pret desfacere
19 [2ndF] [%] 0.19TVA 19%
[=] 2.85TVA in Lei

n [÷] p [2ndF] [%] [=] imparte n la p% (procent).

Exemplu: 25 reprezinta 15% din cat?
R: 166.6666667

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
25 [÷] 25.00
15 [2ndF] [%] 0.15
[=] 166.6666667

Calculul raportului procentual

Raportul procentual a, b, c a fiecarei componente A, B, C intr-o expresie de forma A + B + C = D,exprimate in procente din D reprezinta cota acestora in totalul D. a + b + c = 100%

Exemplu: Se ameteca trei lichide avand urmatoarele volume; 25 + 85 + 90 = 200 (100%)
Calculati raportul procentual al fiecarei componente in amestec.
R: a = 12.5%, b= 42.5%, c= 45%; a + b + c = 100%

  • A → m0;

  • B → m1;

  • A + B + C → M;

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
25 [STO][0][X→M] 25.
85 [STO][1][M+] 85.
90 [M+] 90.
[÷] [MR] 200.
[2ndF][%][+]45.
[(][      0.
[2ndF][RCL][0][÷] [MR][2ndF][%][)] 12.5
[+][(][      0.
[2ndF][RCL][1][÷] [MR][2ndF][%][)] 42.5
[=] 100.

Calculul Profitului Brut (engl. Gross Profit Margin) si Adaosului Comercial (engl. Markup)

markupmargin (17K)

Profitul brut este dat de diferenta dintre incasari din vanzari si costuri (cheltuieli cu aprovizionarea si desfacerea):

P = V - C

Profitul brut exprimat in procente se calculeaza raportat la venitul brut obtinut:

p(%) = 100 × (V - C)/V

din aceasta formula deriva si formulele:

C = V - [p(%) × V]/100

V = C/[1- p(%)/100]

Exemplu:Pretul la furnizor al unui televizor este 490 Lei iar pretul de vanzare este de 750 Lei. Care este profitul brut obtinut de comerciant?
R: Δ(%) = 100 × (750 - 490)/750 = 34.67%

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
100 [×] ( 100.00rezultat in procente
750 [X→M] [−] 750.00Pret
490 [)] [÷] [MR] [=] 34.67Profit(%)

Profitul brut nu trebuie confundat cu adaosul comercial care (care este exprimat in procente raportat la cost nu la pret). In cazul exemplului de mai sus adaosul comercial practicat de comerciant este:

δ(%)= 100 × (750-490)/490 = 53.06%

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
100 [×] ( 100.00rezultat in procente
750 [−] 750.00Pret
490 [X→M] [)] [÷][MR] [=] 53.06Adaos(%)

Exemplu: Comerciantul din exemplul anterior, vrand sa vanda mai multe televizoare, se hotaraste sa reduca pretul. Care este pretul minim al unui televizor daca comerciantul nu isi permite o rata de profit mai mica de 28%?
R: Pret = 490/(1 - 28%) = 680.56 Lei

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
490 [÷] [(] 490.00Cost
1 [−] 1.00
28[2ndF] [%][=] 680.56 Pret

Exemplu: Pornind de la acest pret minim, comerciantul nostru se hotaraste sa vanda televizoarele la pretul de 699.99 Lei. Care este profitul si adaosul comercial in acest caz?
R: Δ(%) = 100 × (699.99 - 490)/699.99 = 30.00%

δ(%)= 100 × (699.99-490)/490 = 42.86%

EnterPress    Display    Comments
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
[(] 0.00rezultat in procente
699.99 [X→M] [−] 699.99Pret
490[STO][0] [)] [÷] [MR] [2ndF][%][=] 30.00Profit(%)
[(] [MR] [−] [2ndF][RCL][0][X→M] [)] [÷] [MR] [2ndF] [%][=] 42.86Adaos%

CALCULE CU CONSTANTE

Daca avem de calculat suma, diferenta, produsul, sau catul unei liste de valori cu o aceiasi constanta sau puteri si radacini ale valorilor respective, calculele pot fi simplificate, nefiind necesara introducerea constantei la fiecare calcul ci doar la calculul primei valori.

De exemplu avem de completat urmatorul tabel:

X X + 1.73 X - 2.25 X × 3.14 X ÷ 1.41 X2.72 4√X
3.25 4.98 1.00 10.99 2.30 24.68 1.34
5.61 7.34 3.36 17.62 3.98 108.94 1.54
8.33 10.06 6.08 26.16 5.91 319.27 1.70
9.52 11.25 7.27 29.89 6.75 459.08 1.76

Pentru a efectua calculele repetitive de mai sus se tasteaza secventa:

EnterPress    Display    
[ON/C] [2ndF] [FIX] 0.
2 0.00
X + 1.73
3.25 [+] 3.25
1.73 [=] 4.98
5.61 [=] 7.34
8.33 [=] 10.06
9.52 [=] 11.25
X - 2.25
3.25 [−] 3.25
2.25 [=] 1.00
5.61 [=] 3.36
8.33 [=] 6.08
9.52 [=] 7.27
X × 3.14
3.14 [×] 3.14
3.25 [=] 10.99
5.61 [=] 17.62
8.33 [=] 26.16
9.52 [=] 29.89
X ÷ 1.41
3.25 [÷] 3.25
1.41 [=] 2.30
5.61 [=] 3.98
8.33 [=] 5.91
9.52 [=] 6.75
X2.72
3.25 [yx] 3.25
2.72 [=] 24.68
5.61 [=] 108.94
8.33 [=] 319.27
9.52 [=] 459.08
4√X
3.25 [2ndF] [x√y] 3.25
4 [=] 1.34
5.61 [=] 1.54
8.33 [=] 1.70
9.52 [=] 1.76

La executia oricarei din operatiile de forma N [+] K [=] , N [−] K [=], N [÷] K [=], N [yx] K [=] si N [x√y] K [=] numarul variabil N introdus primul este stocat in registrul Y iar constanta K introdusa a doua se gaseste in registrul X. La finalizarea operatiei, rezultatul este inscris in registrul X si afisat pe display in timp ce al doilea operand (constanta K) aflat initial initial in registrul X este transferat in Y, pregatindu-se urmatoarea inmultire. Astfel daca se introduce o noua valoare N si se apasa tasta [=], in registrul Y se gaseste deja constanta K de la operatia precedenta iar in X ultimul numar introdus. La finalizare se repeta executia ultimei operatii afisandu-se rezultatul si pastrandu-se constanta K in registrul Y, pentru o noua operatie simplificata cu constanta.

La operatiile de inmultire lucrurile difera doar prin faptul ca primul operand introdus (deinmultitul) este considerat constanta K si inmultitorul introdus, al doilea, este argumentul variabil N: K [×] N [=].

K este stocat in registrul Y, N in registrul acumulator X. La apasarea tastei [=], se calculeaza produsul si se depune in registrul acumulator X al carui continut este afisat pe display. Constanta K ramane in continuare in registrul Y, calculatorul fiind pregatit sa execute o noua inmultire cu aceasta constanta.

Introducand un nou numar N in X si apasand tasta [=] se inmulteste K din registrul Y cu noul N din X iar rezultatul este depus din nou in X si afisat. K ramane memorat in Y.

FUNCTII STIINTIFICE

RADACINI SI PUTERI

  • Puteri si radacini

    • Functia de ridicare la patrat [x²] calculeaza patratul numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

      Exemplu: (4.235)² = 17.935225

      EnterPress    Display    
      4.235 [x²] 17.935225
    • Functia radical [√] calculeaza radacina patrata a numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

      Exemplu: √6.25 = 2.5

      EnterPress    Display    
      6.25 [√] 2.5

      Exemplu: [√3.1452 − 7 + (3.2)²]½ = 2.2390782

      EnterPress    Display    
      [ON/C] [(]0.
      3.1452 [√] [−] 1.773471173
      7 [+] -5.226528827
      3.2 [x²] 10.24
      [)]5.013471173
      [√]2.239078197
    • Functia de extragere a radacinii cubice [³√] se aplica numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

      Exemplu: ³√27 = 3

      EnterPress    Display    
      27 [2ndF] [³√] 3.
    • Pe langa functiile de mai sus Canon F-604 ofera doua functii universale de calcul a puterilor si radacinilor, [yx] si inversa acesteia [x√y].

      Spre deosebire de toate celalalte functii cum ar fi functiile [x²], [√], [³√] discutate mai sus, care au un singur argument si sunt calculate imediat, acestea doua necesita intoducerea a doua argumente, unul in registrul X si celalalt in Y, similar functiilor aritmetice ([+],[−][×] si [÷]).

      Introducerea ambelor functii este asemanatoare: Se introduce argumentul y, se tasteaza functia - [yx] sau [2ndF] [x√y] - dupa care se introduce puterea x.

      Exemplu: 2.86−.42 = .64317072

      EnterPress    Display    
      [ON/C] 0.
      2.86 [yx] 2.86
      .42 [+/-][=] 0.643170721

      Exemplu: 3.12√1460 = 10.332744

      EnterPress    Display    
      [ON/C] 0.
      1460 [2ndF] [x√y] 1460
      3.12 [=] 10.33274375
  • Functia inversa (reciproca) [1/x] calculeaza functia y= x-1. Se aplica numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: (3.2)-1 = 0.3125

    EnterPress    Display    
    3.2 [2ndF] [1/x] 0.3125

    Exemplu:
    exrecipr (2K)

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    1 [+/-] [+] -1.
    7.4 [√][=] 1.720294102
    [2ndF] [1/x] 0.581295953

LOGARITMI SI ANTILOGARITMI

  • Logaritmul Natural loge si Functia Exponentiala ex

    lngrf (5K)

    Graficul functiei loge(x). Functia tinde catre −∞ cand x → 0 si creste incet catre ∞ cand x → ∞. loge(1) = 0.

    Logaritmul natural sau hiperbolic este logaritmul in baza e unde e este o constanta aproximativ egala cu 2.71828 18284 59045 23536...(Numarul e este transcedental si deci irational). Numita ocazional numarul lui Euler sau constanta lui Napier(inventatorul logaritmului), alaturi de numerele 0, 1, π = 3.141529... si numarul imaginar i=√ -1, numarul e este una din constantele cele mai importante din matematica. Deoarece e1=e, loge(e)=1 iar deoarece e0= 1, loge(1) = 0;

    Uneori in locul notatiei loge(x) se foloseste notatia ln(x) pe care o sa o folosesc si eu in continuare.

    Utilizand Canon F-604, tastand [ln] se calculeaza logaritmul natural al numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: ln(1.2) = 0.182321556

    EnterPress    Display    
    1.2 [ln] 0.182321556

    expgrf (7K)

    Graficul functiei ex. Functia descreste foarte incet pentru valori negative ale lui x tinzand asimptotic catre 0 cand x tinde catre -∞ si creste rapid pentru valori pozitive ale acestuia. ex = 1 pentru x=0 si panta tangentei la graficul functiei este intotdeauna egala cu y (valoarea functiei in punctul de tangenta).

    Functia exponentiala este una din cele mai importante functii din matematica in special datorita proprietatilor derivatei sale:

    ddxex (1K)

    Definita pe multimea numerelor reale functia y = ex este pozitiv definita dupa cum se poate vedea si din graficul alaturat.

    Folosind functia ex se poate defini o forma mai generala a functiei exponentiale:

    ax = ( eln(a))x = ex⋅ln(a)

    Deoarece loge(ex) = x⋅loge(e)= x, respectiv eln x= x, functia exponentiala este inversa logaritmului natural fiind din acest motiv numita si antilogaritm natural.

    Introducand secventa de taste [2ndF][ex] se executa calculul antilogaritmului natural al numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Observati ca in cazul ambelor exemple nu este necesara apasarea tastei [=] pentru finalizarea calculelor functia ex fiind executata si rezultatul afisat imediat ce tasta [ex] este apasata.

    In cazul celui de al doilea exemplu observand ca:

    e(7.5 + ln 1.4) = e7.5⋅eln 1.4

    si deoarece eln x = x, adica eln 1.4 = 1.4, putem simplifica calculele:

    e(7.5 + ln 1.4) = 1.4⋅e7.5 = 2531.25938.

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    1.4 [×] 1.4
    7.5 [2ndF][ex] 1808.042414
    [=] 2531.25938

    Exemplu: e3.81=45.150439

    EnterPress    Display    
    3.81 [2ndF] [ex] 45.15043887

    Exemplu: e(7.5+ln 1.4)=2531.2594

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [(]0.
    7.5 [+] 7.5
    1.4 [ln] 0.336472236
    [)] 7.836472237
    [2ndF][ex] 2531.25938
  • Logaritmul Zecimal log10 si Antilogaritmul Comun 10x

    lg10grf (25K)

    In matematica logaritmul in baza 10 log10(x). mai este numit si logaritm vulgar sau zecimal. Pana la aparitia calculatoarelor stiintifice in 1972 studentii, inginerii si oamenii de stiinta calculau logaritmilor zecimali utilizand tabelele de logaritmi, rigla de calcul logaritmica sau batranul calculator stiintific RPN HP-35 .

    logesr (27K)

    Folosind rigla de calcul logaritmica log(x) se calculeaza pozitionand cursorul pe valoarea lui x (1 ≤ x ≤10) pe scala D si citind log(x) sub cursor pe scara L. In figura de mai sus s-a selectat pe scala D valoarea lui e ≅ 2.72 si citind pe scala L valoarea log(2.72) = .434.

    Daca x > 10 se reprezinta in notatie stiintifica x = m⋅10n. Astfel log(x)=log(m⋅10n)= log(m) + log(10n) = log(m) + n. Se calculeaza cu ajutorul riglei logaritmul zecimal al mantisei si se aduna cu exponent. De exemplu:

    log(272) = log(2.72%sdot;102) =

    2 + log(2.72) = 2 + .434 = 2.434

    In particular:

    log(x) = ln(x)/ln(10) respectiv ln(x) = log(x)/log(e)

    In figura alaturata este prezentat modul de calcul al lui log(x) folosind rigla de calcul logaritmica si tabelele de logaritmi.

    Fiind folsit foarte des, uneori in loc de log10(x) inginerii utilizeaza notatia simplificata log(x).

    Pe de alta parte, matematicienii utilizeaza notatia simplificata log(x) pentru logaritmul natural loge(x).

    Deoarece calculatoarele stiintifice sunt proiectate mai curand de ingineri decat de matematicieni, este de inteles ca pe tastatura lor logaritmul natural este marcat cu ln si cel zecimal cu log. Nici Canon F-604 nu se abate de la aceasta regula.

    Utilizand Canon F-604, tastand [log] se calculeaza logaritmul comun al numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: log(e) = 0.434294481

    EnterPress    Display    
    1 [2ndF] [ex] [log] 0.434294481

    Exemplu: log(272) = 2.434568904

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.000
    272 [log] 2.434568904

    In tabelele de logaritmi erau date valorile logaritmilor pentru numere ale caror mantise aveau trei cifre semnificative. Logaritmul se gasea la intersectia randului corespunzator primelor doua cifre ale mantisei (cele mai semnificative) cu coloana corespunzatoare ultimei cifre (cea mai putin semnificative):

    logtble (16K)

    Folosind tabele de logaritmi se obtine o precizie ceva mai buna (4 zecimale exacte):

    log(272) = 2 + log(2.72) = 2 + 0.4346 = 2.4346

    Asa se calculau logaritmii pana in 1972 cand Hewlett Packard a lansat pe piata primul calculator stiintific de buzunar HP-35.

    Cu acest emulator al HP-35 tastand 272 [log] se obtine 2.434568904 iar secventa de calcul a expresiei log(303 + 101.36) = 2.5130959 este:

    EnterPress    Display    
    303 [ENTER] 303.
    1.36 [ENTER] 1.36
    10 [xy] 22.90867652
    [+] 325.9086765
    [log] 2.513095922

    Functia inversa a logaritmului comun log(x) este 10x numita si antilogaritm comun. Introducand secventa [2ndF][log] se calculeaza antilogaritmul comun (10x) al numarului din registrul X afisat pe display.

    Avand un singur operand, functia este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: 10-7.12 = 7.5858⋅10-8

    EnterPress    Display    
    7.12 [+/-] [2ndF] [10x] [F-E]7.5857757 -08

    Exemplu: log(303 + 101.36) = 2.5130959

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [(] 0.
    303 [+] 303.
    1.36 [2ndF] [10x] 22.90867653
    [)] 325.90867653
    [log] 2.513095923

FUNCTII TRIGONOMETRICE

  • Selectia unitatii de masura a unghiurilor

    Apasarea tastei [DRG] permite selectarea unitatii de masura a unghiurilor, fiind posibile trei moduri de lucru: in grade sexagesimale (DEG), radiani (RAD) si grade centesimale (GRD).

    Gradul centesimal (1g)(gradul nou) reprezinta un unghi egal cu a 100-a parte din unghiul drept. Este impartit in 100c (minute centesimale) fiecare minut avand la randul sau 100cc (secunde centesimale).

    Avem deci:

    1g = 100c = 10000cc

    1dr = 100g = 10000c = 1000000cc

    Modul de lucru selectat nu se pierde la oprirea calculatorului.

    DRG (3K)

    Modul de lucru este indicat prin afisarea pe randul de sus al display-ului al simbolului corespunzator - DEG, RAD sau GRD.

    La actionarea repetata a tastei [DRG] modul de lucru se schimba intr-o maniera circulara.

    Selectia unitatii de masura a unghiurilor este o operatie usor de facut dar si usor de omis. Neglijarea acestui pas in efectuarea de calcule implicand functii trigonometrice este cauza celor mai frecvente erori.

  • Sinus, Cosinus, Tangenta, Secanta, Cosecanta, Cotangenta
    si Functiile lor Inverse

    cerctrig (14K)

    Diagrama din dreapta arata in ce cadran al cercului trigonometric functiile listate sunt pozitive. Functiile nespecificate intr-un cadran anume au valori negative.

    La masurarea unghiurilor nu trebuie uitat ca fiecare unghi pozitiv, masurat in sens trigonometric (invers acelor de ceasornic0are si o valoare echivalent negativ (masurat in sens invers trigonometric). De exemplu −45° = 315°

    Cand sunt apasate tastele asociate functiilor trigonometrice ([sin], [cos], [tan]) calculatorul calculeaza functia corespunzatoare avand ca argument numarul din registrul acumulator X afisat pe display.

    Secanta, cosecanta si cotangenta se pot calcula introducand secventele:

    • sec(x) = [sin][2ndF][1/x]
    • cosec(x) = [cos][2ndF][1/x]
    • ctg(x) = [tan][2ndF][1/x]

    trigfngrf (52K)

    Functiile trigonometrice inverse (arcsin, arccos si arctg) sunt activate apasand tasta [2ndF] si una din tastele [sin-1], [cos-1] sau [tan-1], ele determinand gasirea celui mai mic unghi a carui functie este afisata pe display. Rezultatul este depus in registrul X si afisat.

    Functiile inverse ale secantei, cosecantei si cotangentei se pot calcula introducand secventele:

    • arcsec(x) = [2ndF][1/x][2ndF][sin-1]
    • arccosec(x) = [2ndF][1/x][2ndF][cos-1]
    • arcctg(x) = [2ndF][1/x][2ndF][tan-1]

    Functiile trigonometrice Sinus, Cosinus, Tangenta, sunt periodice, putand fi calculate pentru unghiuri mai mari decat un cerc complet (360°, 2π respectiv 400g).

    Exemplu: sin 30° = 0.5 = sin 390°

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    30 [sin] 0.5
    390 [sin] 0.5

    Exemplu: [ sin(0.3012⋅π) ]tg 16.2° = 1.0626654

    Selectati modul de lucru RAD
    EnterPress    Display    
    [ON/C] [(] 0.
    .3012 [×] 0.3012
    [2ndF][&pi] 3.141592654
    [)] 0.946247707
    [sin] 0.811227138
    [yx] 0.811227138
    16.2 [DRG] [DRG] [tan]0.290526856
    [+/-] [=] 1.062665429

    trigcerc (69K)

    Cel mai mare unghi ce poate fi returnat de o functie trigonometrica inversa ( arcsin, arccos, arctg) este de 180° (π radiani sau 200g).

    Deoarece unele unghiuri diferite au aceeasi valoare a functiei in intervalul [0,π] (spre exemplu functia arcsin ia valoarea 0.5 atat pentru un unghi de 30° situat in primul cadran al cercului trigonometric cat si pentru un unghi de 150° situat in cadranul II) unghiurile intoarse de functiile trigonometrice inverse sunt restrictionate la urmatoarele cadrane:

    Functia 'arc' Cadran, unghi
    arcsin x (sin-1 x) I (0 .. 90°, π/2 sau 100g)
    arcsin −x (sin-1 −x) IV (0 .. −90°, −π/2 sau -100g)
    arccos x (cos-1 x) I (0 .. 90°, π/2 sau 100g)
    arccos −x (cos-1 −x) II (90 .. 180°, π sau 200g)
    arctg x (tg-1 x) I (0 .. 90°, π/2 sau 100g)
    arctg −x (tg-1 −x) IV (0 .. −90°, −π/2 sau -100g)

    Functia arcsin 0.5 va returna intotdeauna unghiul 30° desi sin 150° = 0.5 si sin 390° = 0.5.

    Exemplu: sin-1 0.712 = 45.397875° = 0.79234239 radiani

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    .712 [2ndF] [sin-1] DEG  45.39787468
    .712 [DRG] [2ndF] [sin-1] RAD  0.792342386

    Exemplu: √arctg(9.72) + 1/arcsin(.808) = 9.1905773

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    9.72 [2ndF] [tan-1] DEG  84.12603848
    [√] [+] 9.172024776
    .808 [2ndF] [sin-1] DEG  53.90098374
    [2ndF] [1/x]0.018552537
    [=] 9.190577313
  • Diagnosticarea calculatorului folosind functiile trigonometrice

    Functiile trigonometrice sunt transcendente si deci irationale. Calculul lor lor se face printr-un algoritm numeric iterativ obtinandu-se o valoare aproximativa a carei precizie depinde de algoritmul folosit.

    Precizia algoritmilor folositi poate fi evaluata calculand:

    arcsin( arccos( arctg( tg( cos( sin( 9° ))))))

    Teoretic rezultatul ar trebui sa fie 9° dar cel mai adesea el este mai mic sau mai mare decat unghiul initial ceea ce ne permite sa evaluam gradul de precizie al algoritmilor utilizati pentru calculul functiilor trigonometrice in functie de eroarea obtinuta.

    Algoritmii difera de la calculator la calculator. Modele diferite de calculatoare avand carcase diferite dar avand la baza acelasi controller si implementand acelasi algoritmi, vor da rezultate identice. De aceea numarul obtinut din calculul formulei de dignostic poate fi folosit ca o amprenta pentru identificarea "creierului" calculatorului. Detalii...

    Secventa de calcule a numarului de diagnostic este:

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    9 [sin] [cos] [tan] [2ndF] [tan-1] [2ndF] [cos-1] [2ndF] [sin-1] DEG  8.999998637

    Primele 10 cifre ale numarului (reprezentat intern pe 12 cifre) sunt afisate pe display 8.999998637??.

    Scazand 8.99999 din rezultat obtin si ultimile doua cifre din reprezentarea interna de 12 cifre a numarului:

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    [ON/C]
    9 [sin] [cos] [tan] [2ndF] [tan-1] [2ndF] [cos-1] [2ndF] [sin-1] [-]DEG  8.999998644
    8.99999 [=][F-S] 8.64382 -06

    Ultimile trei cifre sunt 382. Deci numarul de diagnostic complet este 8.99999864382.

    Efectuand acelasi calcul cu un SHARP EL-501 se obtine numarul 8.99999863704 in timp ce pentru Canon F-720i rezultatul este 9.00000000000 in cap.

    Am grupat in tabelul de mai jos rezultatele diagnosticarii unor calculatoare.

    CalculatorNumar diagnostic
    Canon F-6048.99999864382
    SHARP EL-501W8.99999863704
    SHARP EL-503W9.0000000989060
    SHARP EL-531WH9.0000000989060
    Citizen SRP-2659.0000278599
    Canon F-6048.99999864382
    Canon F-720i9.00000000000
    Milan 1590059.00000000000
    Casio fx-2914.462524
    Casio fx-82SX9.00001568547
    Casio fx-350MS8.99999863704
    Casio fx-115MS8.99999863704
    TI-83 Plus8.99999695957
    TI-84 Plus8.99999695957
    Elektronika MK-549.0881454
    Elektronika MK-619.0881454

    Analizand rezultatele din tabel constatam ca ele intr-adevar ofera informatii despre precizia algoritmilor cat si despre familia din care face parte calculatorul. Se observa ca SHARP EL-501W foloseste aceiasi algoritmi cu Casio fx-350MS. Modelele SHARP mai avansate (versiuni mai noi) folosesc insa un alt algoritm, cu precizie mai buna.

    Ca precizie cele mai tari sunt desigur TI-93/94 Plus iar cele mai slabe CASIO-29 cu o eroare uriasa de peste 5 grade, urmat indeaproape de anticele MK-54, si MK-61 care sunt pe departe si cele mai lente.

  • Conversii in Grade, Radiani, Grade Centesimale

    Adeseori este necesar sa convertim unghiuri exprimate intr-o unitate de masura in alta.

    Conversia se poate face folosind functiile trigonometrice si functiile inverse ale acestora.

    De exemplu pentru a converti 30° in radiani trecem calculatorul in modul de lucru DEG (cu grade) si tastam secventa 30 [sin] [DRG] [2ndF] [sin-1] rezultand 0.523598775 radiani.

    Iata un alt exemplu care converteste 50° in radiani, apoi in grade centesimale si inapoi in grade.

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    50 [sin][DRG][2ndF][sin-1]RAD   0.872664626
    [sin][DRG][2ndF][sin-1] GRAD   55.55555556
    [sin][DRG][2ndF][sin-1] DEG      50.

    Problema este ca acest procedeu se aplica doar unghiurilor din cadranul I sau IV adica:

    0 ± 90°
    0 ± π/2
    0 ± 100g

    Unghiurile mai mari din cadranele II si III vor fi reduse fie la cadranul I fie la IV de functia arcsin.

    Un alt procedeu de conversie este de a inmulti unghiul cu un factor de conversie calculat in functie de tipul conversiei:

    DIN \ IN DEG RAD GRAD
    DEG ×π ÷ 180 ÷0.9
    RAD × 180 ÷ π × 200 ÷ π
    GRAD ×0.9 × π ÷ 200

    Exemplu: Conversia a 120° in radiani, grade centesimale si inapoi in grade.

    EnterPress    Display    Comments
    [ON/C]0.Anulare
    120 [×] [2ndF] [π] [÷] 376.9911184
    180 [=] [×] 2.094395102radiani
    200 [÷] [2ndF] [π] [=] [×] 133.3333333grade centesimale
    .9 [=] 120.grade

    Daca am fi incercat sa aplicam procedeul anterior pentru aceste conversii functia arcsin ar fi redus ungiul de 120° la primul cadran, adica la 60°.

    Vestea buna este ca Canon F-604 este prevazut cu o functie de conversie a unghiurilor de la un sistem de unitati la altul activata de apasare tastelor [2ndf][DRG>] ceea ce duce si la modificarea a modului de lucru in sistemul unitati de masura corespunzator:

    Exemplu: Conversia a 120° in radiani, grade centesimale si inapoi in grade.

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    Comments
    120 [2ndF] [DRG>] RAD  2.094395102radiani
    [2ndF] [DRG>] GRAD  133.3333333grade centesimale
    [2ndF] [DRG>] DEG  120.grade
  • Conversia Formatului Gradelor Sexagesimale

    Exista doua modalitati de a reprezenta unghiurile exprimate in grade sexagesimale. Unul din moduri este de a folosi formatul zecimal (virgula mobila) DD.dd unde DD reprezinta. cifrele partii intregi a unghiului iar dd pe cele ale partii fractionare (se pot folosi in total pana la 10+2 cifre).

    A doua modalitate este de a folosi formatul grade-minute-secunde (°'")

    In modul DEG (unghiuri masurate in grade sexagesimale), argumentul functiilor trigononometrice trebuie sa fie in format DD.dd. Adeseori insa in probleme, unghiurile nu sunt date in aceasta forma ci in grade, minute si secunde (°'").

    Cand unghiul este dat in aceasta forma, pentru a fi convertit in formatul DD.dd cerut de functiile trigonometrice trebuiesc efectuat calculul: &alpha = grade° + minute'/60 + secunde"/3600.

    Exemplu: sin(15°32'17.5") = 0.26788069

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    15 [+] 15.
    32 [÷] 32.
    60 [+] 15.53333333
    17.5 [÷] 17.5
    3600 [=] 15.53819444
    [sin] 0.26788069

    Canon F-604 prevede functia de conversie automata la introducerea unghiurilor in format °'" in formatul DD.dd prin apasarea tastei [°'"→] dupa introducerea gradelor, apoi a minutelor si in final a secundelor:

    Exemplu: sin(15°32'17.5") = 0.26788069

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    15 [°'"→] 15.
    32 [°'"→] 15.53333333
    17.5 [°'"→] 15.53819444
    [sin] 0.26788069

    Canon F-604 prevede si functia inversa de conversie din format DD.dd in format °'".Functia este activata de secventa [2ndF][→°'"].

    Exemplu: Sa se exprime in grade, minute si secunde unghiul dintre dreapta y = 2.5x+1 si axa Ox;
    R: α = 68°11'54.9"

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    Comments
    2.5 [2ndF] [tan-1] 68.19859051Grade
    [2ndF] [→°'"] 68°11'54"968°11'54.9"

    Avand in vedere ca orele la fel ca si gradele sexagesimale au 60 minute respectiv 3600 secunde, cele doua functii pot fi folosite si pentru calculul intervalelor orare.

    Exemplu: 11h35m10.5s - 8h15m33.75s = 3h19m36.75s

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    11 [°'"→] 11.
    35 [°'"→] 15.58333333
    10.5 [°'"→] [−] 11.58625
    8 [°'"→] 8.
    15 [°'"→] 8.25
    33.75 [°'"→] 8.259375
    [=] 3.326875
    [2ndF] [→°'"] 3°19'36"75

    Exemplu: Un autoturism parcurge 196km avand viteza medie de 75 km/h. Cat a durat drumul?
    R:2h36m48.00s

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    196 [÷] 196.
    75 [=] 2.613333333
    [2ndF] [→°'"] 2°36'48"
  • Conversii Polar/Rectangular

    Conversia din/in coordonate polare (R,θ) in/din cooldonate rectangulare (x,y) este o functionalitate extrem de utila in cercetarea stiintifica si inginerie.

    polar (82K)
    Coordonate polare

    rectang (50K)
    Coordonate rectangulare

    Formulele de trecere din coordonate rectangulare in cele polare sunt:

    R = √(x² + y²)
    &theta = arctan(y/x) (-180° < θ < 180°)

    Exemplu: Convertiti din coordonate polare in coordonate recatangulare x=10.4m, y = 6m
    R: R = 12.00666482; θ = 29.98163937°

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    Comments
    [ON/C] 0.Anulare
    10.4 [X→M][x²] [+] 45.
    6 [x²] [=] [√] 12.00666482R
    6 [÷] 6.y
    [MR][=] [2ndF] [tan-1]29.98163937θ

    Formulele de trecere din coordonate polare in cele rectangulare sunt:

    x= R cos θ
    y = R sin θ

    Exemplu: Convertiti din coordonate polare in coordonate recatangulare R=45m, θ = 31.6°
    R:x = 38.32771204; y = 23.57936577

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    Comments
    [ON/C] 0.Anulare
    45 [X→M][×] 45.R
    31.6 [cos] [=] 38.32771204x
    [MR][×] 45.R
    31.6 [sin] [=] 23.57936577y

    Canon F-604 are prevazute functii de conversie din coordonate polare in rectangulare si invers direct, fara a mai aplica formulele de mai sus. Aceaste functii folosesc pentru pastrarea valorii coordonatelor o pereche de registri dedicati a si b.

    Pentru a face conversia din coordonate polare in coordonate rectangulare se urmeaza urmatorii pasi:

    1. Se introduce R si se apasa tasta [a]. R este memorat in registrul dedicat a
    2. Se introduce unghiul θ si se apasa tasta [b]. Unghiul este memorat in registrul dedicat b
    3. Se apasa tasta [2ndF][P→R]. Calculatorul efectueaza conversia si memoreaza coordonatele x si y rezultate in registrul a respectiv b. Pe display este afisata valoarea coordonatei x.
    4. Se apasa tasta [b]. Registrul b contine coordonata rectangulara y. Pe display este afisata coordonata y.
    5. Se apasa tasta [a]. Registrul a contine coordonata rectangulara x. Pe display este afisata coordonata x.
    Pentru a face conversia din coordonate rectangulare in coordonate polare se urmeaza urmatorii pasi:
    1. Se introduce x si se apasa tasta [a]. x este memorat in registrul dedicat a
    2. Se introduce y si se apasa tasta [b]. y este memorat in registrul dedicat b
    3. Se apasa tasta [2ndF][R→P]. Calculatorul efectueaza conversia si memoreaza coordonatele polare R si θ rezultate in registrul a respectiv b. Pe display este afisata valoarea R.
    4. Se apasa tasta [b]. Registrul b contine unghiul θ. Pe display este afisata coordonata θ.
    5. Se apasa tasta [a]. Registrul a contine coordonata polara R. Pe display este afisat R.

    prprblm (8K)

    Exemplu: Convertiti din coordonate polare in coordonate recatangulare R=√2m, θ = 45°
    R:x = 1; y = 1

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    2 [√][a] 1.41213562
    45 [b] 45
    [2ndF] [P→R] 1.
    [b] 1.
    [a] 1.

    Exemplu: Convertiti din coordonate polare in coordonate recatangulare x=1m, y = √3m
    R: R = 2; θ = 60°

    Selectati modul de lucru DEG
    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    1 [a] 1.
    3 [√][b] 1.732050808
    [2ndF] [R→P] 2.
    [b] 60.
    [a] 2.

FUNCTII HIPERBOLICE

In matematica functiile hiperbolice sunt analogul in spatiul hiperbolic al functiilor trigonometrice sau circulare in spatiul euclidian existand foarte multe similitudini intre ele. Functiile circulare sin(t) si cos(t), t ∈ [0, 2&pi] parametrizeaza cercul unitar avand ecuatia x² + y² = 1 si avand ecuatia parametrizata:

x = cos(t)
y = sin(t)

unitcircle (12K)

sin(t)² + cos(t)² = 1

sine2 (26K)

cosine2 (31K)

Similar functiile hiperbolice sinh(t) si cosh(t), t{−∞, ∞] parametrizeaza hiperbola standard x² − y² = 1:

x = cosh(t)
y = sinh(t)

hyperbola (11K)

hyper012 (15K)

Argumentul functiilor hiperbolice nu se masoara in grade. Numit unghi hiperbolic, el reprezenta dublul ariei dintre graficul hiperbolei, axa Ox si segmentul care uneste originea si punctul de coordonate (x,y) de pe grafic (aria colorata cu albastru)

Din relatia de conversie din forma polara in rectangulara a numerelor complexe:

eix = cos(ix) + i sin(ix)
e−ix = cos(ix) − i sin(ix)

cos(x) = (eix + e-ix)/2
sin(x) = (eix - e-ix)/(2i)

Similar se obtine pentru functiile hiperbolice inlocuind i cu 1:

ex = cosh(x) + sinh(x)
e−x = cosh(x) − sinh(x)

cosh(x) = (ex + e−x)/2
sinh(x) = (ex − e−x)/2

cosh (2K)
cosh(x)

sinh (2K)
sinh(x)

tanh (2K)
tanh(x)

invcosh (1K)
arccosh(x)

invsinh (1K)
arcsinh (x)

invtanh (2K)
arctanh(x)

Putem folosi formulele de mai sus pentru calculul functiilor sinh,cosh si tanh:

cosh(x) = (ex + e−x)/2 = (e2x + 1)/(2ex)
sinh(x) = (ex − e− x)/2 = (e2x − 1)/(2ex)
tanh(x)= sinh(x)/cosh9x) = (ex − e-x)/(ex + e-x) = (e2x − 1)/(e2x + 1)

Exemplu: tanh 2.99 = 0.994955105

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
2.99 [×] 2.99
2 [=] [2ndF] [ex] [X→M] [−] 395.4403682
1 [=] [÷] [(] [MR] [+] 395.4403682
1 [=] 0.994955105

Formulele de calcul ale functiilor hiperbolice inverse sunt:

arcsinh(x) = sinh-1(x) = ln(x + √(x² + 1))
arccosh(x) = cosh-1(x) = ln(x + √(x² − 1))
arctan(x) = tanh-1(x) = ln[(x +1)/(x-1)]/2

Exemplu: sinh-1 86.213 = 5.150001792

EnterPress    Display    
[ON/C] 0.
86.213 [X→M] [+] [(] [MR] [x²] [+] 7432.681369
1 [)] [√] [=] [ln] 5.150001792

Desi nu este rau de stiut aceste formule, vestea buna este ca Canon F-604 are implementat calculul functiilor hiperbolice. Pentru a calcula sinh, cosh si tanh se apasa tasta [HYP] si tasta [sin], [cos] respectiv [tan].

Exemplu: tanh 2.99 = 0.994955105

EnterPress    Display    
2.99 [HYP][tan] 0.994955105

Pentru calcul functiilor inverse sinh-1, cosh-1 sau tanh-1 se tasteaza [2ndF] [HYP] [sin-1], [cos-1], respectiv [tan-1].

Exemplu: sinh-1 86.213 = 5.150001792

EnterPress    Display    
86.213 [2ndF] [HYP] [sin-1] 5.150001792
Ecuatia lantisorului

catenarygrf (32K)

Ecuatia lantisorului este:

catenary (3K)

Graficul acestei functii corespunde formei pe care o ia un cablu sau un lantisor intins intre doua puncte sub actiunea propriei sale greutati.

Parametrul a este dat de raportul dintre componenta orizontala a tensiunii in cablu T0 si P - greutatea unitara a cablului:

aparam (1K)

In cazul general, lungimea unei portiuni ΔL al graficului unei functi f(x) in vecinatatea punctului X0, pe o portiune mica dx este aproximativ egala cu lungimea tangentei la curba in X0(pe aceasta portiune curba putand fi aproximata cu tangenta).

lunggrf (5K)

In aceste conditii dL = √(dx² + dy²) este lungimea graficului curbei intre X0 si X0 + dx.

Deoarece tg(α) = dy/dx, dy = dx &sdot tg(α) iar deoarece tg(α)= f '(X0) rezulta ca

dy = dx ⋅ f '(X0)

si deci

dL = √{dx² + dx² ⋅ [f '(X0)]²} = dx⋅√{1 + [f'(X0)]²}

In particular pentru ecuatia lantisorului:

CatenaryMod_gr_47 (1K)

se obtine:

CatenaryMod_gr_48 (1K)

Si deci lungimea curbei intre x = 0 si x = a este;

CatenaryMod_gr_49 (1K)

Exemplu: Un cablu este intins la inaltimea de 9.28m intre doi stalpi situati la o distanta de 12.19 m. La mijlocul distantei dintre stalpi cablul se afla la inaltimea de 5.58 m fata de pamant. care este lungimea cablului?
Lungimea cablului e data de formula: L = 2 ⋅ a ⋅ sinh ((D/2)/a )

unde D = 12.19m este distanta dintre stalpi iar a=5.58 inaltimea in punctul cel mai de jos al curbei si deci:
R: L = 2 ⋅ 5.58 ⋅ sinh ((12.19/2)/5.58 ) = 14.76

EnterPress    Display    
[ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00
2 [×] 2.00
5.58[X→M] [×] [(] 0.00
12.19 [÷]12.19
2 [÷][MR] [)] [HYP] [sin] [=] 14.76

Exemplu: O telecabina cu turisti se deplaseaza pe un cablu intins intre doua varfuri se afla la acelasi nivel la o distanta de 437 de metri. unghiul format de cablu in punctul de prindere cu orizontala este de 63° Cat dureaza traversarea daca telecabina se deplaseaza pe cablu cu 135 m/min?.
Lungimea cablului e data de formula: L = 2 ⋅ a ⋅ sinh ((D/2)/a ) (vezi exemplul anterior)
Tangenta la cablu in punctul de prindere (x=D/2) este tg(α) = d/dx (a ⋅ cosh((D/2)/a) = sinh((D/2)/a)
Deci (D/2)/a = arcsinh(tg(α)) adica
a = (D/2)/arcsinh(tg(α))
Deci sinh((D/2)/a) fiind egal tg(α) putem scrie ca:
L = 2 ⋅ a ⋅ tg(alpha) = D ⋅ tg(alpha)/arcsinh(tg(α)) = 437 × tg(63°)÷arcsinh(tg(63°))
R: t = 437 × tg(63°) ÷arcsinh(tg(63°))÷135 = 4.453 minute = 4m 27s

Selectati modul de lucru DEG
EnterPress    Display    
[ON/C] [2ndF][FIX][3] 0.000
437 [×] 437.000
63 [tan] [X→M] [÷] [MR] [2ndF][HYP] [sin-1] [÷] 601.113
135 [=] 4.453
[2ndF] [→°'"] 4°27'09"68

GENERAREA NUMERELOR ALEATOARE

Pentru generarea unui numar aleator cuprins intre 0.000 si 0.999 se tasteaza [2ndF] [RND]. Numarul este salvat in registrul X si afisat pe display.

Exemplu:

EnterPress    Display    
[2ndF] [RND] 0.716

CALCULE STATISTICE

  • Parametrii Statististici: MEDIA, ABATEREA MEDIE PATRATICA(VARIANTA) si DEVIATIA STANDARD

    O variabila statistica este o caracteristica masurata care difera de la subiect la subiect. De exemplu s-ar masura greutatea sau inalimea a 30 de persoane sau greutatea, diametrul si grosimea unor portii de piza, valorile masurate ar diferi de la subiect la subiect si deci aceste caracteristici pot fi considerate variabile statistice.

    Dispersia unei variabile statistice masoara cat de mult difera intre ele valorile variabilei. Daca diferitele valori pe care le ia variabila difera putin dispersia este mica. Daca insa diferentele intre valorile masurate sunt mari, dispersia este mare.

    Reprezentand pe un grafic frecventa de aparitie a diferitelor valori ale unei variabile statistice (de exemplu inaltimea sau greutatea subiectilor) se obtine graficul distributiei acesteia:

    spread (2K)

    In cazul asa numitei distributii normale, valorile variabilei sunt distribuite in mod egal la stanga si la dreapta unei valori medii data de relatia:

    meanx (3K)

    unde Σxi este suma valorilor masurate si N este numarul lor.

    In graficele de mai sus, cele doua variabile au aceeasi medie dar dispersii diferite. Cu cat variabila are o dispersie mai mare cu atat curba de distributie este mai plata.

    Un indicator al marimii dispersiei unei variabile statistice este varianta sau abaterea medie patratica, calculata ca medie aritmetica a abaterilor marimilor masurate de la medie. De exemplu valorile 1, 2 si 3 au media (1 + 2 + 3)/3 = 2 si abaterea medie patratica:

    v1 (1K)

    Deoarece abaterile de la medie pot fi atat pozitive cat si pozitive si fiind uniform distribuite atat la stanga cat si la dreapta mediei, media lor ar fi intotdeauna nula si nu poate servi ca indicator al dispersiei. De aceea s-a optat pentru medierea patratelor abaterilor care sunt pozitive indiferent daca abaterea este pozitiva sau negativa.

    Formula de calcul a variantei este:

    v2 (1K)

    unde unde X sunt valorile xi masurate, i∈[1...N], N este numarul lor iar &mu media.

    normaldist (4K)

    In cazul ideal, curba de distributie are forma unui clopot (clopotul lui Gauss) fiind graficul functiei:

    normal5 (1K)

    Pe axa x sunt reprezentate valorile masurate (inaltimi, greutati, diametre, grosimi, crime, calorii consumate, km parcursi, etc.) iar pe aza y frecventele de aparitie ale valorilor respective. Forma graficului distributiei normale poate fi mai zvelta sau mai aplatizata in functie de parametri:

    normal2 (1K)

    Din expresia analitica a functiei de distributie normala se vede ca parametrii care determina forma graficului sunt chiar caracteristicile variabilei statistice discutate mai sus: media μ si si varianta σ².

    Cel mai utilizat indicator al dispersiei este insa deviatia standard σ calculata ca fiind radacina patrata a variantei:

    stdev1 (3K)

    sau in forma echivalenta usor de dedus din prima:

    stdev2 (3K)

    Semnificatia deviatiei standard este explicata mai jos.

    stdev3 (6K)

    La o abatere de o deviatie standard σ la stanga si la dreapta mediei μ (in intervalul colorata cu rosu de sub graficul distributiei normale)se incadreaza circa 68% din subiecti. La o distanta de doua deviatii standard la drepata si la stanga mediei (intervalul colorat cu verde) se incadreaza circa 95% din subiectii testati iar in intervalul delimitat de 3 deviatii standard (colorat cu albastru) 99%. Cu cat σ este mai mare cu atat graficul este mai aplatizat.

    De unde aceste procente (70%, 95%, 99%)? Deoarece aria de sub curba reprezinta suma tuturor esantioanelor adica N. In cazul clopotului lui Gauss, functia este normata si aria de sub curba (calculata ca integrala de la -∞ la ∞) este 1 adica 100%.

    Integrala de la -σ la σ din functie este aproximativ 0.7 adica 70%.

    Integrala de la -2⋅σ la 2⋅σ din functie este aproximativ 0.95 adica 95%.

    Integrala de la -3⋅σ la 3⋅σ din functie este aproximativ 0.99 adica 99%.

    In analiza datelor statistice deviatia standard este importanta deoarece ea indica gradul de dispersie a marimii statistice masurate. La ce este ea utila? Sa luam un exemplu. Un ziarist vrea sa scrie un reportaj despre rezultatele testelor nationale la doua scoli din Bucuresti.

    Comparand punctajele obtinute la testele nationale de elevii scolii generale 166 si 162 se constata ca media elevilor scolii 162 este mai mare decat a celor de la scoala 166. Asta l-ar face sa presupuna ca elevii de la 162 sunt mai isteti.

    Dar calculand si comparand deviatiile standard ale punctajelor obtinute de cele doua scoli ar putea constata ca desi teoretic ar trebui sa fie aproximativ egale, cea a scolii 166 este mult mai mare decat a scolii 162. Aceasta inseamna ca punctajele obtinute de 68% din elevii de la 166 variaza de exemplu intre 6 si 9 in timp ce la 162 68% din elevi au luat note intre 8 si 9. Ipoteza lui ca cei de la 162 sunt mai isteti nu mai sta in picioare.

    Daca ar fi fost asa, atunci deviatiile standard ar fi fost aproximativ egale, iar 68% din elevii de la 166 ar fi avut note intre 6 si 7 , nu intre 6 si 9! Explicatia deci trebuie cautata in alta parte. Investigand mai indeaproape, ziaristul ar putea afla de exemplu ca la scoala 166 exista cateva clase speciale pentru handicapati sau ca in cursul anului la aceasta scoala au fost transferati toti elevii cu probleme de la toate scolile din sectorul 6.

    Adeseori este nepractic sau imposibil sa se faca masuratori pe intreaga populatie prin populatie intelegand toti subiectii analizei statistice fie ca este vorba de oameni, animale, marfuri, etc.

    Nu este posibil sa desigilezi toate cutiile de dropsuri dintr-un lot de marfa si sa numeri toate dropsurile din fiecare cutie pentru a determina deviatia standard a numarului de dropsuri din acest lot de marfa.

    Pentru aceasta este suficient sa se preleveze aleator un esantion de cateva cutii din lot care sa serveasca estimarii acestui parametru.

    Problema este ca varianta σ² calculata pentru un esantion al unei populatii are tendinta sa subestimeze varianta acesteia, respectiv deviatia standard calculata pe baza acestei variante sa fie mai mica decat cea reala.

    De aceea in cazul analizei statistice pe baza unui esantion varianta acestuia se noteaza nu σ² ci S². Aceast indicator este numit numita varianta sau abaterea medie patratica deviata a esantionului si are formula de calcul:

    v3 (1K)

    unde M este media esantionului.

    Varianta sau abaterea medie patratica nedeviata a esantionului, care estimeaza corect varianta σ² a populatiei, se noteaza cu si se calculeaza cu formula:

    v4 (1K)

    Deviatia standard nedeviata a esantionului care estimeaza deviatia standard a populatiei σ este notata cu s si fiind radacina patrata a variantei nedeviate a esantionului, se calculeaza cu formula:

    stdev4 (3K)

    sau

    stdev5 (4K)

  • MODUL DE LUCRU STATISTIC

    Canon F-604 ofera functii pentru introducerea si editarea datelor statistice si pentru calculul tuturor indicatorilor statistici discutati mai sus: n (numarul de date), Σx, Σx², x, σx si sx.

    Pentru a trece calculatorul in modul de lucru statistic se tasteaza [ON/C] pentru a anula memoria de date statistice si apoi [2ndF][STAT]. Pe display in coltul din dreapta sus va fi afisat simbolul STAT indicand ca modul de lucru statistic este activat.

    Revenirea din modul de lucru statistic la modul de lucru normal(algebric) se face apasand din nou [2ndF][STAT] Modul de lucru statistic este nevolatil - oprind calculatorul si repornindu-l acesta va intra in modul de lucru satistic in care se afla cand a fost oprit. Memoria statistica nu este nici ea afectata de oprirea calculatorului.

    La iesirea din modul de lucru statistic, memoria statistica este anulata toate datele introduse fiind sterse.

  • INTRODUCEREA SI CORECTIA DATELOR STATISTICE

    Cu calculatorul trecut in modul de lucru statistic , se stocheaza una cate una valorile din setul de date in memoria statistica apasand tasta [DATA] inaintea fiecare numar introdus: [DATA]valoare ...

    Dupa apasarea tastei [DATA] pe display este afisat pâlpâitor mesajul dAtA si indexul (incepand de la dAtA 1 pana la dAtA 73) a valorii ce urmeaza a fi stocata in memoria statistica. In total pot fi memorate 73 de date. Incercarea de a memora a 74 data va genera o eroare afisand FULL 5 (eroarea se anuleaza apasand [ON/C], )

    De exemplu pentru a introduce datele 10, 20, 30, 40, 50. Se tasteaza [DATA] 10 [DATA] 20 [DATA] 30 [DATA] 40 [DATA] 50 pe display fiind afisat pe rand, dupa fiecare data introdusa numerele dAtA 1, dAtA 2,dAtA 3,dAtA 4, si in final dAtA 5 reprezentand indexul in memoria statistica a valorii ce urmeaza sa fie introdusa.

    Daca aceeasi valoare apare de mai multe ori in setul de date de introdus, ea poate fi tastata o singura data, urmata de frecventa ei de aparitie in setul de date introducand secventa: [DATA] valoare [×] frecventa . Indexul este incrementat corespunzator cu frecventa introduse pentru data respectiva.

    De exemplu pentru a introduce datele 11,12,12, −13,14,11,12,15 se tasteaza: [DATA] 11 [×] 2 [DATA] 12 [×] 3 [DATA] 13 [+/-] [DATA] 14 [DATA] 15 pe dispaly fiind afisati pe rand : dAtA 1, dAtA 3, dAtA 6, dAtA 7 si in final dAtA 8 inainte de introducerea ultimei valori:

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [2ndF][STAT] 0.
    [DATA] dAtA     1
    11 [×] [2] [DATA] dAtA     3
    12 [×] [3] [DATA] dAtA     6
    13 [DATA] dAtA     7
    14 [DATA] dAtA     8
    15 15.

    Pentru a introduce rezultatul evaluarii unei expresii ca data statistica se calculeaza valoarea expresiei ca si in modul normal de lucru dupa ce se apasa tasta [DATA].

    Pentru a obtine in timpul calculelor numarul de date introduse in memoria statistica se apasa tasta [n].

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [2ndF][STAT] 0.
    [DATA] dAtA     1
    11 [×] [2] [DATA] dAtA     3
    12 [×] [3] [DATA] dAtA     6
    13 [DATA] dAtA     7
    14 [DATA] dAtA     8
    15 [n] 8.

    Corectia cifrelor valorii introduse se face cu ajutorul tastelor [>] si [CE] ca si in modul normal de lucru.

    Apasarea tastei [ON/C] determina stergerea datei statistice curente introduse.

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [2ndF][STAT] 0.
    [DATA] dAtA     1
    11 [×] [2] [DATA] dAtA     3
    12 [×] [3] [DATA] dAtA     6
    13 [DATA] dAtA     7
    14 [DATA] dAtA     8
    15 [ON/C] [n] 7.

    Dupa apasarea tastei [DATA] valoarile eronate introduse anterior si stocate deja in memoria statistica pot fi sterse prin apasarea tastei [EDIT] (insotita cu aprinderea simblului ED pe randul de sus al display-ului indicand intrarea in modul de editare a datelor statistice ) , urmata de apasarea succesiva a tastei [DATA] pana pe display este afisat indexul datei si data ce trebuie stearsa. Odata accesata data ea poate fi stearsa prin apasarea tastei [2ndF][DEL] sau modificata prin tastarea unei noi valori.

    Iesirea din modul de editare al datelor statistice se face apasand din nou [2ndF][EDIT]. La iesirea din modul de editare al datelor statistice simbolul ED dispare si el de pe display.

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [2ndF][STAT] 0.
    [DATA] dAtA     1
    11 [×] [2] [DATA] dAtA     3
    12 [×] [3] [DATA] dAtA     6
    13 [DATA] dAtA     7
    14 [DATA] dAtA     8
    15 [2ndF] [EDIT][DATA] ED dAtA 1 (... 11 )
    [DATA] ED dAtA 2 (... 11 )
    [DATA] ED dAtA 3 (... 12 )
    [DATA] ED dAtA 4 (... 12 )
    [2ndF][DEL] ED 12
    [2ndF][EDIT] 0.
    [n] 7.

    O data poate fi stearsa si direct, fara a intra in modul editare prin tastarea [DATA] <valoare> [2ndF][DEL]

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [2ndF][STAT] 0.
    [DATA] dAtA     1
    11 [×] [2] [DATA] dAtA     3
    12 [×] [3] [DATA] dAtA     6
    13 [DATA] dAtA     7
    14 [DATA] dAtA     8
    15 [DATA] dAtA     9
    12 [2ndF][DEL] dAtA     8
    [n] 7.

    Se poate sterge un grup intreg de date cu aceeasi valoare tastand [DATA] <valoare> [×] <frecventa> [2ndF][DEL] (unde <frecventa> este numarul de date cu valoarea <valoare> ce trebuie sters).

    De exemplu daca s-au introdus in memoria statistica datele 10, 20, 30, 40, 40, 40, 40, 60 prin tastarea secventei:

    [DATA] 10 [DATA] 20 [DATA] 30 [DATA] 40 [×] 4 [DATA] 60

    si se doreste stergerea numerelor 40, 40, 40, 60 si adaugarea valorii 50 se tasteaza:

    40 [×] 3 [2ndF] [DEL] 60 [2ndF] [DEL] 50

    Numarul de date din memoria statistica este 5 (fiind sterse 4 valori din 8 introduse anterior si adaugata inca una).

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [2ndF][STAT] 0.
    [DATA] dAtA     1
    10 [DATA] dAtA     2
    20 [×] [4] [DATA] dAtA     3
    30 [DATA] dAtA     4
    40 [×] [4] [DATA] dAtA     8
    60 [n] 8.
    [DATA] dAtA     9
    40 [×] [3] [2ndF][DEL] dAtA     6
    50 [n] 6.

    Stergerea integrala a memoriei statistice se face iesind din modul statistic si revenind din nou in acest mod tastand secventa:

    [2ndF][STAT][ON/C][2ndF][STAT]

  • AFISAREA PARAMETRILOR STATISTICI

    In modul statistic, dupa introducerea datelor urmatorii parametri pot fi obtinuti:

    Parametru statisticTaste apasate
    Numarul de date n [n]
    Suma datelor Σx [2ndF] [Σx]
    Suma patratelor datelor Σx² [2ndF] [Σx²]
    Media datelor x[x]
    Deviatia standard a populatiei σx[2ndF] [σx]
    Deviatia standard (nedeviata) a esantionului sx[sx]

    Exemplu: Din tabelul de mai sus se vede ca Canon F-604 furnizeaza atat parametrii statistici x (μ), sx, σx, dar si 'ingredientele' pe care le-a folosit la calculul acestor parametri: n, Σx, Σx². - Introduceti setul urmator de date: 95, 80, 80, 75, 75, 75, 50.
    - Afisati parametrii statistici calculati de Canon F-604: x, sx, σx, n, Σx, Σx².
    - Folosind n, Σx, Σx² furnizati de calculator determinati parametrii statistici x, sx, σx prin calcul direct, aplicand formulele prezentate mai sus.

    R: x = 75.71428571; sx = 13.3630621; σx = 12.37179148; n = 7; Σx = 530; Σx² = 41200;
    x = (1/n)Σx = (1/7)⋅ 530 = 75.71428571;
    sx = √[1/(n-1)(Σx² − n⋅(x)²)] = √[1/(7-1)( 41200 − 7⋅75.71428571²)] = 13.3630621;
    σx = √[(1/n)Σx² − (x)²] = √[(1/7)⋅41200 − 75.71428571²] = 12.37179148;

    EnterPress    Display    
    [ON/C][2ndF][STAT] 0.
    Introducere date
    [DATA] dAtA     1
    95 [DATA] dAtA     2
    80 [×] [2] dAtA     4
    75 [×] [3] dAtA     7
    50 50.
    Afisare parametri
    [n] [STO] [0] 7.
    [x] 75.71428571
    [S] 13.3630621
    [2ndF][σ] σ12.37179148
    [2ndF][Σx] [STO] [1] 530.
    [2ndF][Σx²] [STO] [2] 41200.
    Calcul parametri folosind formulele
    [2ndF] [STAT] [ON/C] 0.
    [2ndF] [RCL] [1] [÷] [2ndF] [RCL] [0] [=] [X→M] 75.71428571
    [2ndF] [RCL] [2] [÷] [2ndF] [RCL] [0] [=] [−] [MR] [x²] [=] [√] 12.37179148
    [2ndF] [RCL] [2] [−] [(] [2ndF] [RCL] [0] [×] [MR] [x²] [)] [=] [÷] [(] [2ndF] [RCL] [0] [−] 7.
    1 [)] [=] [√]13.3630621

    Exemplu: Ultimile 10 vile vandute pe piata imobiliara au avut preturile $198,000; $185,000;$205,200;$225,300; $206,700; $201,850; $200,000; $189,000; $192,100; $200,400. Care este pretul mediu si deviatia standard? Un pret de vanzare de $240,000 ar putea fi considerat neobisnuit in zona respectiva?

    R: Pretul mediu: $200,355
    Deviatia standard sx: $11,189.0435
    Interval 95% [μ + 2sx, μ − 2sx]: [$177,976.913, $222,733.087]
    Deci aflandu-se in afara acestui interval in care se incadreaza 95% din vanzari, un pret de $240,000 este ceva neobisnuit.

    EnterPress    Display    Comments
    [2ndF][STAT] 0.00Selectie mod statistic
    Introducere date
    [DATA] dAtA     1
    198000 [DATA] dAtA     2x1
    185000 [DATA] dAtA     3x2
    205200 [DATA] dAtA     4x3
    225300 [DATA] dAtA     5x4
    206700 [DATA] dAtA     6x5
    201850 [DATA] dAtA     7x6
    200000 [DATA] dAtA     8x7
    189000 [DATA] dAtA     9x8
    192100 [DATA] dAtA     10x9
    200400 200400x10
    Afisare/prelucrare date
    [n] 10N = 10
    [x] 200355.Media
    [S][×] 11189.0435Deviatia standard
    2 [+][x][=] 222733.087 μ + 2⋅sx
    [S][×] 11189.0435Deviatia standard
    2 [+/-][+][x][=] 177976.913 μ − 2⋅sx

    Exemplu: Am tinut cateva luni la rand evidenta plinurilor facute la masina si au rezultat urmatoarele date: 56 litri la 3.66 Lei/l, 27 litri la 3.37 Lei/l, 38 litri la 3.43 Lei/l si 64 litri la 3.69 Lei/l. Care este pretul mediu al combustibilului cumparat?
    R: Avem de calculat o medie ponderata μ = (1/N)⋅Σ(fi⋅pi)
    unde N = Σ fi. Rezulta:
    N = Σ fi = 185
    S =Σ(fi⋅pi) = 662.45
    μ = S/N = 662.45/185 = 3.58 [Lei/l]

    EnterPress    Display    Comments
    [2ndF][STAT][2ndF][FIX][2] 0.00Selectie mod statistic
    Introducere date
    [DATA] dAtA     1N=0
    3.66 [×] 3.66 p1
    56 [DATA] dAtA     57. N = f1
    3.37 [×] 3.37 p2
    27 [DATA] dAtA     84. N = f1 + f2
    3.43 [×] 3.43 p3
    38 [DATA] dAtA     122. N = f1 + f2 + f3
    3.69 [×] 3.69 p4
    64 [n] 185. N = f1 + f2 + f3 + f4
    Afisare/prelucrare date
    [x] 3.58Media μ
    Verificare S/N
    [2ndF][Σx] 662.45 S = Σ(fi⋅pi)
    [÷][n][=] 3.58μ = S/N

COMBINATORICA - FACTORIAL, PERMUTARI, ARANJAMENTE, COMBINARI

  • Factorialul

    Apasarea tastei [x!] determina calculul functiei factorial n! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... n. n ∈ Ν, avand ca argument numarul aflat in registrul X afisat pe display. Acest numar trebuie sa fie un numar natural ( intreg si pozitiv). In caz contrar calculatorul va semnala eroare si intregul calcul va fi compromis. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: 5! = 120

    EnterPress    Display    
    5 [2ndF] [x!] 120.

    Exemplu: 10! = 3628800

    EnterPress    Display    
    10 [2ndF] [x!] 3628800.

    Exemplu: 13! = 6227020800

    EnterPress    Display    
    13 [2ndF] [x!] 6227020800

    Pentru n > 13 n! devine prea mare si avand mai mult de 10 cifre nu poate sa mai fie afisat in virgula mobila. Afisarea se face in notatie stiintifica:

    Exemplu: 14! = 87178291200

    EnterPress    Display    
    14 [2ndF] [x!] 8.7178291 10

    In acest caz, avand in vedere ca in memorie numarul este reprezentat pe 12 cifre, putem sa obtinem, si ultimile doua cifre scazand din rezultat 8⋅1010:

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    14 [2ndF] [x!] [−] 8.7178291 10
    8 [EXP] 8.
    10 [=] 7178291200

    Deci 14! = 87178291200

    Similar putem obtine 15! = 1307674368000

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    15 [2ndF] [x!] [−] 1.3076743 12
    1.3 [EXP] 1.3
    12 [=] 7674368000.

    Deci 15! = 1307674368000, iarasi am obtinut rezultatul corect.

    Incepand insa de la 18! = 6402373705728000 (13 cifre semnificative) nu vom mai putea obtine toate cifrele factorialului nici macar in reprezentarea interna, incepand sa se manifeste o oarecare scadere a preciziei.

    Cel mai mare numar pentru care se poate calcula factorialul cu aceasta functie este n=69.

    59! =
    171122452428 141311372468 338881272839 092270544893 520369393648 040923257279 754140647424 000000000000 000

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    69 [2ndF] [x!] [−] 1.7112245 80
    1.711 [EXP] 1.711
    98 [=] 2.2452412 94

    Deci din cele 99 de cifre ale lui 69! avem primele 10 cifre (cele mai semnificative), toate corecte si ultimele doua nu: 59! = 1.71122452412⋅1098

    La incercarea de a calcula 70! =
    119785716699 698917960727 837216890987 364589381425 464258575553 628646280095 827898453196 800000000000 00000
    calculatorul va semnala eroare deoarece rezultatul depaseste valoarea maxima admisa 9.9999999⋅1099 si nu mai poate fi afisat pe display nici in notatie stiintifica exponentul avand 3 cifre.

    EnterPress    Display    
    70 [2ndF] [x!] E          0.

    Putem calcula valoarea aproximativa a factorialului unor numere mari folosind formula (aproximatia) lui Stirling:

    stirling (2K)

    70! ≈ &radic(2π⋅70)⋅(7 ÷ e)70⋅1070 Calculam doar &radic(2π⋅70)⋅(7 ÷ e)70 pentru ca rezultatul sa fie mic.

    EnterPress    Display    
    [ON/C] [(] 0.
    2 [×] [2ndF] [π] [×]6.2831855307
    70 [)] [√] [×] [(] 0.
    7 [÷] 7.
    1 [2ndF] [ex][)][2ndF][xy] 2.575156088
    70 [=] 1.196432005 30

    deci 70! ≈ 1.196432⋅10(30 + 70) = 1.196432005⋅ 10(100)

    Am reusit sa determin exact primele trei cifre ale lui 70! Pentru unele calcule este o aproximatie satisfacatoare.

    O aproximatie mai buna este data de formula:

    stirlingm (5K)

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    2 [×] [2ndF] [π] [×]6.283185307
    69 [X→M][=] [√] [×][(] [RCL][÷] [1][2ndF] [ex][)][yx] [MR][×] 1.7091591 98
    [(] 0
    1 [+] 1.
    12 [2ndF][1/x][÷][MR] [)]1.00120773
    [=] 1.7112233 98
    daca aplicand doar formula lui Stirling am obtinut numai trei cifre exacte 69! ≈ 1.71e98, aplicand a doua formula am obtinut 6 cifre exacte 69! ≈ 1.71122e98

    Sa aplicam aceeasi formula pentru a calcula:

    256! =
    857817775342 842654119082 271681232625 157781520279 485619859655
    650377269452 553147589377 440291360451 408450375885 342336584306
    157196834693 696475322289 288497426025 679637332563 368786442675
    207626794560 187968867971 521143307702 077526646451 464709187326
    100832876325 702818980773 671781454170 250523018608 495319068138
    257481070252 817559459476 987034665712 738139286205 234756808218
    860701203611 083152093501 947437109101 726968262861 606263662435
    022840944191 408424615936 000000000000 000000000000 000000000000
    000000000000 000000000000 000

    256! ≈ &radic(2π⋅256)⋅(2.56 ÷ e)256⋅10512 (1+1/12/256).

    Calculam doar &radic(2π⋅256)⋅(2.56 ÷ e)256(1+1/12/256) pentru ca rezultatul sa fie mic:

    112
    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    2 [×] [2ndF] [π] [×]6.2831855307
    256 [X→M][=] [√] [×] [(]0.
    2.56 [÷] 2.56
    1 [2ndF] [ex][)][yx][MR] [×][F↔S]8.575385834 -06
    [(] 0.
    [+] 1.
    [2ndF][1/x][÷][MR][)] 1.000325521
    [=][F↔S]8.5781773 -06

    Deci 256! ≈ 8.5781773 -06⋅10(-6+512) = 8.5781773 ⋅10506

    Am reusit sa determin exact primele 7 cifre ale factorialului. Cu formula lui Stirling ramaneam la 3 cifre corecte: 8.5753858⋅10506

  • Permutari

    Prin permutari de n elemente, notat Pn, se intelege numarul de multimi ordonate (cu elementele dispuse intr-o anumita ordine) formate cu toate cele n elemente ale unei multimi date.

    Exemplu: Numerele cu trei cifre distincte ce se pot forma folosind cifrele din multimea {1,2,3} sunt 6: 123, 132, 213, 231,312, 321. Numerele s-au obtinut prin permutarea celor 3 cifre.

    Se demonstreaza ca:

    Pn = n!

    Exemplu:La un joc de poker un jucator a primit urmatoarele carti: K♠, K♣, K♥, K♦ si A♣
    In cate feluri poate jucatorul aranja cele 5 carti cand le tine in mana?

    R: Pn = 5! = 120 feluri diferite.

    EnterPress    Display    
    5 [2ndF] [x!] 120.

    Exemplu: Avand un pachet de 13 carti de joc de aceeasi culoare (A♣, K♣ Q♣, J♣, 10♣, 9♣ 8♣, 7♣, 6♣ 5♣, 4♣, 3♣ si 2♣). Cate variante de aranjare a acestora exista?

    R: P13 = 6,227,020,800 = sase miliarde doua sute douazeci si sapte de milioane doua zeci de mii opt sute de variante.

    EnterPress    Display    
    13 [2ndF] [x!] 6227020800.
  • Aranjamente

    Prin aranjamente de n elemente luate cate k, notate in cu Ank, se intelege numarul de submultimi ordonate formate cu k elemente din cele n elemente ale unei multimi date (k ≤ n ).

    Exemplu: Avand date o multime de 4 cifre distincte {1, 2, 3,4}, cate numere cu doua cifre se pot forma cu acestea?

    R: Pentru obtinerea numerelor se fixeaza pe rand cate o cifra si se formeaza cu fiecare din celalalte trei cifre ramase numere cu doua cifre distincte.

    12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43

    Se demonstreaza ca:

    Ank = n⋅(n − 1)⋅(n − 2) ...(n − k + 1) = n! / (n − k)!

    Putem calcula A42 = 4! / (4 − 2)! = 4! / 2! = 4! / 2 = 12

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    4 [2ndF] [x!] [÷] 24
    2 [=] 12.

    Exemplu: Am un pachet de 13 carti de joc si 3 jucatori. Daca fiecare jucator trage cate o carte din cele 13, cate variante sunt posibile?

    R: A133 = 13! / (13 − 3)! = 1716 variante

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    13 [X→M][2ndF] [x!] [÷][(] [MR] [−] 13.
    3 [)] [2ndF] [x!] [=] 1716.
  • Combinari

    Prin combinari de n obiecte luate cate k obiecte , notat Cnk, se intelege numarul submultimilor cu k elemente din cele n elemente ale unei multimi date (k ≤ n).

    Se demonstreaza ca:

    Cnk = Ank / Pk = n! / [k! ⋅ (n − k)!]

    Exemplu: Cate combinatii pot fi formate pe un lacatel cu cifru de trei cifre?

    R: Numarul de cifre pe un disc al cifrului este 10 {0p, 1p, ... 9p}, , p=1,2,3.

    Deci multimea de cifre posibile are 3×10 = 30 cifre:

    {01, 11, ... 91, 02, 12, ... 92, 03, 13, ... 93}.

    Numarul de combinatii de trei elemente ce se pot forma cu elementele unei multimi de 30 de elemete este C303. In cazul lacatelului nu toate aceste combinatii sunt posibile, fiind valide numai combinatiile de trei cifre in care fiecare cifra apartine unui alt disc al cifrului. Combinatii de genul {Ap,Bp, Cp} in care toate cifrele apartin aceluiasi disc si {Ap,Bp, Cq} in care doua cifre apartin aceluiasi disc nu sunt permise. Cate astfel de combinatii sunt?

    Pentru fiecare disc avem C103 combinatii de trei cifre si C102 combinatii de 2 cifre care pot fi combinate cu 20 de cifre de pe celalalte doua discuri. Deci pentru fiecare disc sunt C103 + 20 × C102 combinatii invalide.

    Rezulta ca numarul de combinatii valide ce pot fi formate pe cele trei discuri este:

    C303 - 3 × ( C103 + 20 × C102) = 1000 combinatii.

    EnterPress    Display    
    [ON/C] 0.
    30 [X→M][2ndF] [x!] [÷] 2.6525285 32
    3 [2ndF] [x!][÷][(] [MR] [−] 30.
    3 [)] [2ndF] [x!] [=] [X→M] 4060.
    10 [2ndF] [x!] [÷] 3628800.
    3 [2ndF] [x!] [÷] [(] 0.
    10 [−] 10.
    3 [)][2ndF] [x!] [+] 120.
    10 [2ndF] [x!] [÷] 3628800.
    2 [÷] [(] 0.
    10 [−] 10.
    2 [)][2ndF] [x!] [×] 45.
    20 [=][×] 1020.
    3 [+/-][=][M+][MR] 1000.

CALCULE CU NUMERE COMPLEXE

  • Selectarea modului de lucru cu numere complexe.

    Pentru a lucra cu numere complexe se trece calculatorul in modul de lucru complex apasand tastele [2ndF][CPLX]. In coltul din drepata sus va aparea afisat simbolul CPLX . Revenirea in modul normal (algebric) se face tastand din nou secventa [2ndF][CPLX] sau [off][ON/C] care opreste si porneste calculatorul (La pornire, calculatorul intra implicit in modul algebric).

  • Introducerea numerelor complexe

    Un numar complex are forma z = a + i⋅b unde a,b ∈ R si i este numarul imaginar unitate i² = 1.

    Conjugatul unui numar complex este z = a - i⋅b astfel incat z ⋅ z = a² + b² ∈ R. Numerele complexe se pot reprezenta in planul complex - un sistem de coordonate carteziene (rectangulare) in care numarul complex poate fi reprezentat ca un punct de coordonate (x,y).

    In mod alternativ numarul complex z poate fi reprezentat in coordonate polare avand modulul r = |z|≥ 0 si argumentul φ = arg(z).

    Conversia din forma polara in forma rectangulara se face cu formulele:

    x = r cos φ
    x = r cos φ

    Conversia din forma rectangulara in forma polara se face aplicand formulele:

    r = √(x² + y²)

    cplxplane (11K)

    cplxphi (15K)

    Notatiile in forma polara sunt:

    Notatia in forma trigonometrica:

    z = r⋅(cos φ + i ⋅ sin φ)

    Notatia in forma exponentiala:

    z = r ⋅ e i⋅ φ

    Pe multimea numerelor complexe C sunt definite operatiile:

    adunare:

    >

    scadere:

    cplxsub (3K)

    inmultire:

    cplxmul (6K)

    impartire:

    cplxfrac (6K)

    Aceste operatii sunt ca si cele algebrice asociative, comutative si distributive.

    In modul de lucru cu numere complexe Canon F-604 cere ca datele sa fie reprezentate in format cartezian a + ib si sa fie stocate in perechea de registrii dedicati a (pentru memorarea partii reale a) si b (pentru memorarea partii imaginara b).

    De exemplu pentru a memora numarul complex 12 − 6i in registrii a si b se tasteaza: 12 [a] 6 [+/-] [b]

    Numerele complexe reprezentate in forma polara trigonometrica z = r⋅(cos φ + i⋅sin φ) pot fi introduse si ele fiind convertite in format cartezian in timpul tastarii.

    De exemplu pentru a introduce 16⋅(cos 30° + i⋅sin 30°) se trece calculatorul in sistemul de lucru cu grade sexagesimale (simbolul DEG afisat), se tasteaza 16 [a] [×] 30 [cos] [a] 30 [sin] [b].

    Apasand tasta [=] se citeste de pe display partea reala x (continuta si in registrului a) : 13.85640646.

    Apasand tasta [b] se afiseaza 8. reprezentand partea imaginara 8 din registrul b. Apasand tasta [a] se afiseaza din nou 13.85640646 reprezentand partea reala a numarului din registrul a.

    Deci in final perechea de registri (a,b) contine numarul 16⋅(cos 30° + i⋅sin 30°) convertit la formatul cartezian 13.85640646 + i8

    Similar, numerele complexe reprezentate in format polar exponential z = r ⋅ e i⋅φ) pot fi transformate la tastare in format cartezian cu ajutorul functiei de conversie din coordonate polare la coordonate rectangulare.

    De exemplu pentru a introduce numarul 16 ⋅ e i⋅30° in cei doi registri a si b se trece calculatorul in sistemul de lucru cu grade sexagesimale (simbolul DEG afisat) si se tasteaza: 16 [a] 30 [b] [2ndF] [[P→R]

    Pe display este afisata partea reala x (continuta si in registrului a) : 13.85640646.

    Apasand tasta [b] se afiseaza 8. reprezentand partea imaginara preluata din din registrul b. Apasand tasta [a] se afiseaza din nou 13.85640646 reprezentand partea reala a numarului din registrul a.

    Deci din nou in final perechea de registri (a,b) contine numarul 16 ⋅ e i⋅30° convertit la formatul cartezian 13.85640646 + i8

  • Conversia din forma carteziana in cea polara se poate face avand introducand numarul complex z (partea reala in registrul a si cea imaginara in b asa cum s-a aratat mai sus) si apeland functia de conversie din coordonate rectangulare in coordonate polare. De exemplu pentru a converti la forma polara numarul 12 − 6i se tasteaza: 12 [a] 6 [+/-] [b] [2ndF] [R→P] pe display fiind afisat r= 13.41640787 (continut si in registrul a). Registrul b contine pe φ si poate fi afisat apasand tasta [b]: -26.56505118. Acest unghi in format DD.dd poate fi convertit in format D.MS apasand [2ndF] [→D.MS] si rezultand φ = -26°33'54.18".

  • Operatii cu numere complexe

    • adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea numerelor complexe

      Sunt posibile toate operatiile aritmetice cu numere complexe (+, −, × si ÷). Pasii de urmat pentru calculul unei expresii de forma

      z = z1 op1 z2 op2 ... zn

      sunt: - se introduce partea reala si imaginara a lui z1 in perechea de registri a si b (daca z1 are numai parte reala se inscrie numai aceasta in a, fara a mai inscrie ceva in b; daca z1 are numai parte imaginara se inscrie numai aceasta in b, fara a mai inscrie ceva in a) si se apasa tasta operatiei [op1] (una din tastele [+], [−], [×] sau [÷]). - se introduce partea reala si imaginara a lui z2 in perechea de registri a si b (daca z2 are numai parte reala se inscrie numai aceasta in a, fara a mai inscrie ceva in b; daca z1 are numai parte imaginara se inscrie numai aceasta in b, fara a mai inscrie ceva in a) si se apasa tasta operatiei [op2] (una din tastele [+], [−], [×] sau [÷]). - se continue introducerea termenilor si operatiilor pana la introducerea ultimului operand zn si se apasa tasta [=] ceea ce va determina finalizarea calculelor.

      Prioritatea operatiilor cu numere complexe este:

      1. × , ÷
      2. +, −

      Nu este posibila utilizarea parantezelor in calculul expresiilor cu numere complexe.

      La introducerea partii reale sau imaginare nu este posibila utilizarea parantezelor, utilizarea memoriei independente ([STO], [RCL], [X→M], [MR], [M+])si a functiilor cu doi operanzi. (operatiile algebrice de adunare, scadere, impartire [+], [−], [×] si [÷], si functiile generice de ridicare la putere si extragere a radacinii [yx] si [x√y]). Se pot folosi functiile cu un singur operand, executate imediat.

      Exemplu: z = ( 12 − 6i) + (7 + 15i) − (-11 + 4i)
      R: z = 30 + 5i

      Selectati modul de lucru CPLX
      EnterPress    Display    
      [ON/C] 0.
      12 [a] 12
      6 [+/-][b][+] 0.
      7 [a] 7.
      15 [b] [−] 0.
      11 [+/-][a] -11.
      4 [b] [=] 30.
      [b] 5.

      Exemplu: z = 6 × ( 7 − 9i) × (-5 + 8i)
      R: z = 222 + 606i

      Selectati modul de lucru CPLX
      EnterPress    Display    
      [ON/C] 0.
      6 [a] [×] 0.
      7 [a] 7.
      9 [+/-][b] [×] 0.
      5 [+/-][a] -5.
      8 [b][=] 222.
      [b] 606.

      Exemplu: z = 16 × ( sin 30° + i⋅cos 30°) /(sin 60° + i⋅cos 60°)
      R: z = 13.85640646 + 8i

      Selectati modul de lucru CPLX, DEG
      EnterPress    Display    
      [ON/C] 0.
      16 [a][×] 0.
      30 [sin][a] 0.5
      30 [cos][b][÷] 0.
      60 [sin] [a] 0.866025403
      60 [cos][b] [=] 13.85640646
      [b] 8.

      excplx (6K)

      Exemplu:
      z1 = 8 ⋅ e i⋅70°
      z2 = 12 ⋅ e i⋅25°
      z = z1 + z2 =?
      R: z = z1 + z2 =18.5408873⋅ e i⋅42°45'51.39"

      Selectati modul de lucru CPLX, DEG
      EnterPress    Display    
      [ON/C] 0.
      8 [a] 8.
      70 [b][2ndF][P→R][+] 0.
      12 [a] 12.
      25 [b][2ndF][P→R][=][2ndF][R→P] 18.5408873
      [b] 42.76427608
      [2ndF][→°'"] 42.455139
    • Puteri si radacini

      Avand un numar complex z reprezentat in forma polara trigonometrica

      cplxtrigfrm (2K)

      si aplicand formula lui De Moivre:

      cplxdemoivre (4K)

      Sau calculand direct zn = (r⋅ei⋅φ)n

      Se poate usor deduce ca puterea n a numarului z este:

      cplxpwr (2K)

      cplxplaneroots (6K)

      Similar, radacinile de ordin n a unui numar complex sunt date de:

      cplxroots (8K)

      Sau in forma polara exponentiala:

      cplxroot (2K)

      Deoarece in modul de lucru cu numere complexe nu putem folosi operatiile algebrice pentru a calcula modulul si argumentul puterii de ordin n sau ai unei radacini acest lucru trebuie facut separat cu calculatorul in mod de luucru algeric.

      Exemplu: z = [( 1.2 − 6i) + (7 + 1.5i)]5
      R: z = -57664.73 − 42204.20i

      Selectati modul de lucru CPLX
      EnterPress    Display    
      [ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00
      Calcul z = ( 1.2 − 6i) + (7 + 1.5i)
      1.2 [a] 1.20
      6 [+/-][b][+] 0.00
      7 [a] 7.00
      1.5 [b] [=] [2ndF][R→P] 9.35
      [b] -28.76
      Calcul z5 Se selecteaza modul de lucru normal(algebric)
      [2ndF][CPLX] 0.00
      9.35 [yx] 9.35
      5 [=][X→M] 71459.18
      28.76 [+-][×] -28.76
      5 [=][b] [MR][a][2ndF][P→R] -57664.73
      [b] -42204.20

      Exemplu: z = 5√(-57664.73 − 42204.20i)
      R: z = 8.20 − 4.50i

      Selectati modul de lucru normal(algebric)
      EnterPress    Display    
      [ON/C] [2ndF][FIX][2] 0.00
      57664.73 [+/-][a] 1.20
      42204.20 [+/-][b][2ndF][R→P][X→M] 71459.19
      [b] [÷] 9.35
      5 [=] -28.76
      [MR][2ndF][x√]71459.18
      5 [=][a] 9.35
      28.76 [+/-][b] -28.76
      [2ndF][P→R] 8.20
      [b] -4.50

CALCULE IN ALTE BAZE DE NUMERATIE

  • De ce este nevoie de a reprezenta numerele in binar, octal sau hex?

    Intre un numar si reprezentarea acestuia este o foarte mare diferenta. Din antichitate si pana in ziua de azi oamenii au folosit diferite sisteme de a reprezenta cantitatile de obiecte. De exemplu babilonieinii foloseau baza de numeratie 60 si simboluri cuneiforme imprimate pe tablite de lut pentru a reprezenta numerele. De la ei s-a pastrat sistemul de numeratie sexagesimal folosit si in ziua de azi pentru reprezentarea unghiurilor si timpului (cercul impartit in 360°, gradele si orele impartite in 60 de minute si minutele in 60 de secunde).

    Romanii foloseau pentru reprezentarea numerelor cifrele romane (I, II, III, IV, V, ..., X, M, C, D...). In Evul Mediu, odata cu algebra, europenii au preluat de la arabi sistemul de reprezentare in baza zece (zecimal decimal) - un sistem pozitional, in care unitatile, zecile, sutele, miile, etc. precum si zecimile, sutimile, miimile etc, sunt reprezentate folosind 10 simboluri - asa numitele 'cifre arabe'(De fapt 'cifrele arabe' au fost preluate de arabi de la indieni, si ulterior inlocuite cu propriile simboluri astfel incat in ziua de azi arabii nu folosesc cifrele 'arabe' folosite de europeni).

    Deci nu trebuie confundata cantitatea de obiecte numarate care este o marime obiectiva, si reprezentarea acestei cantitati - care poate sa difere in functie de baza de numeratie si simbolurile (cifrele) folosite .

    Calculand cu ajutorul lui Canon F-604, am introdus date si am memorat rezultate intermediare in diferiti registri (X, Y, M, a, b, memoria statistica).

    Desi numerele introduse precum si cele afisate pe display ca rezultat al executarii operatiilor tastate erau toate reprezentate in sistemul zecimal de numeratie, folosind cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 si 9, intern, in registrii calculatorului, aceste numere erau reprezentate in binar, folosind baza de numeratie 2.

    Numerele sunt reprezentate intern in binar deoarece registrii calculatoarelor de buzunar ca si circuitele de memorie si registrii fratilor lor mai mari - computerele, sunt bazate pe circuite electronice bistabile avand doar doua stari posibile, una asociata cu cifra 0 si una complementara asociata cu cifra 1.

    Ca urmare, numerele introduse in calculator folosind zece cifre sunt convertite automat intr-o reprezentare in asa numitul format BCD - Binary Coded Decimal - care foloseste doar cifrele 0 si 1, numerele fiind memorate in registrul X prin setarea corespunzatoare a starilor circuitelor electronice bistabile cu care este realizat acesta .

    In sistemul BCD fiecarei cifre zecimale ii corespunde reprezentarea binara a acesteia folosind o combinatie de patru cifre 0 sau 1 ocupand 4 biti de memorie (Bitul si byte-ul sau octetul sunt unitati de masura a capacitatii de memorie. (Asa cum capacitatea unui rezervor se masoara in litri, metri sau centimetri cubi, capacitatea memoriei se masoara in biti octeti (bytes) ( 1 Byte = 8 bit )si multiplii acestora.

    Pentru a memora o cifra binara (0 sau 1) este nevoie de o capacitate de meorie de 1 bit. Astfel, un circuit bistabil are o capacitate de 1 bit.) :

    0 - 0000
    1 - 0001
    2 - 0010
    3 - 0011
    4 - 0100
    5 - 0101
    6 - 0110
    7 - 0111
    8 - 1000
    9 - 1001

    Mantisa reprezentarii interne a numarului avand 12 cifre iar exponentul inca 2, registrul in care el este memorat are o capacitate (12 + 2)/2 = 7 octeti.

    Afisand 10+2 cifre, display-ul cu cristale lichide (LCD) 7 segmente al calculatorului pe care apar numerele memorate in registrul acumulator X, prevede 12 grupuri de 7 segmente LCD fiecare grup permitand afisarea simbolului unei cifre zecimale si a unui punct zecimal. Displayurile LCD sunt pasive. Ele nu emit lumina ca cele cu LED-uri sau tuburi fluorescente.

    display-led (9K)
    Display cu LED-uri (Texas Instruments SR-40, TI-30, TI-59, Hewlett Packard HP-35, HP-45, HP-55)

    display-fluo (9K)
    Display cu tuburi fluorescente (Electronika MK-54, MK-61)

    display-lcd-jaune (9K)
    Prima generatie de display-uri LCD erau prevazute cu un filtru UV galben.

    display-lcd-7seg (9K)
    A doua generatie de display-uri LCD prevazand afisarea cifrelor pe elemente cu 7 segmente

    display-lcd-matrix (9K)
    A treia generatie de display-uri LCD cu cifrele afisate ca matrice de 5×7 puncte.

    Inventat in 1962 de Dr Richard Williams, display-ul cu cristale lichide LCD - Liquid Crystal Display (eng.) - are functionarea bazata pe controlul transparentei celor 7 segmente a,b,c,d,e,f,g pentru fiecare cifra din componenta sa. Daca segmentul LCD al unei cifre este polarizat prin aplicarea unui potential electric, el devine transparent, facand vizibila banda neagra cu care este acoperita partea din spate a display-ului. Cu cat tensiunea de polarizare aplicata segmentului este mai mare, cu atat segmentul este mai transparent (si deci tot mai negru). Daca segmentul nu este polarizat, el ramane opac, reflectand lumina incidenta pe suprafata display-ului si avand aceeasi culoare cu restul afisajului, fundalul negru nefiind vizibil. De aceea, pe masura ce bateriile calculatorului se descaraca, tensiunea de alimentare scade iar vizibilitatea cifrelor afisate este tot mai mica pana cand cifrele dispar de tot. Unele calculatoare mai bune (si mai scumpe un pic) ofera functia de reglare a contrastului permitand cresterea sau micsorarea tensiunii de alimentare a displayului LCD. Din pacate Canon F-604 nu prevede aceasta facilitate.

    Avantajul display-urilor LCD este ca sunt pasive (nu emit lumina) si din acest motiv consumul de energie pentru afisare este extrem de mic. Aceasta a permis utilizarea pentru alimentare a unor baterii miniaturale care asigura o autonomie de functionare continua a calculatorului de mii de ore (circa 2 ani de zile de exploatare normala) spre deosebire de calculatoarele din prima generatie echipate cu display-uri cu LED-uri care 'mancau' o baterie de 9V in cateva ore. Display-urile cu tuburi fluorescente desi consuma mai putin decat cele cu LED-uri, totusi consuma incomparabil mai mult decat cele LCD.

    Pe langa cele 10 + 2 elemente cu 7 segmente pentru afisarea cifrelor display-ul asigura si simbolurilor indicatore (M, DEG, RAD, GRD, STAT, CPLX, E, (), etc.).

    Dupa fiecare operatie executata, in functie de modul de afisare curent, microcontrollerul calculatorului pe baza numarului din registrul X formeaza cifrele numarul ce trebuie afisat si prin intermediul circuitelor sale de I/O (decodadu-le format BCD in cod 7 segmente) le aplica circuitelor display-ului asigurand astfel afisarea lor.

    BCDto7Dec (27K)
    Decodor BCD (A,B,C,D cele 4 cifre binare ale codului BCD ⇒ a,b,c,d,f,g - cele 7 segmente ale unei cifre)

    Toate aceste procese sunt transparente pentru utilizator caruia nici nu-i pasa (si nu trebuie sa-i pese) de cum sunt reprezentate intern numerele pe care el le introduce in calculator.

    In cazul fratior mai mari ai calculatoarelor de buzunar - computerele - lucrurile stau un pic altfel. Unii dintre utilizatorii computerelor, si anume programatorii sunt pusi adeseori in situatia sa diagnosticheze de ce programele scrise de ei nu functioneaza corect si sa le depaneze. Pentru aceasta ei au nevoie sa acceseze datele stocate de program in diferite zone de memorie chiar in timpul executiei acestuia.

    Atat adresele blocurilor de memorie analizate cat si datele pe care programatorul le acceseaza pentru depanare sunt codate binar. Chiar daca primele computere erau programate direct in cod masina binar, lucrul cu astfel de date constand in siruri lungi de cifre 0 si 1 poate ca este facil pentru computere dar nu si pentru oameni, fiind imposibil sa tii minte combinatii lungi de cifre de 1 si 0.

    Incercati sa retineti numarul 000110100010101100111100010011012. Acum numarati pana la 10 si incercati sa scrieti numarul pe hartie. Greu, nu? Pe de alta parte convertirea lui 000110100010101100111100010011012 in zecimal necesita efectuarea calculul nu tocmai usor de facut in gand:

    0⋅231 + 0⋅230 + 0⋅229 + 1⋅228 + 1⋅227 + 0⋅226 + 1⋅225 + 0⋅224 + 0⋅223 + 0⋅222 + 1⋅221 + 0⋅220 + 1⋅219 + 0⋅218 + 1⋅217 + 1⋅216 + 0⋅215 + 0⋅214 + 1⋅213 + 1⋅212 + 1⋅211 + 1⋅210 + 0⋅29 + 0⋅28 + 0⋅27 + 1⋅26 + 0⋅25 + 0⋅24 + 1⋅23 + 1⋅22 + 0⋅21 + 1⋅20 = 43904110110

    Pe de alta parte, nici 439041101 nu este tocmai usor de tinut minte.

    Conversia inversa, din zecimal in binar a lui 43904110110, nu poate nici ea fi facuta usor, aceasta presupunand impartiri repetate la 2 cu retinerea restului impartirii 0 sau 1, lucru iarasi imposibil de facut fara hartie si creion. De exemplu pentru a converti numarul 2410 in binar se executa urmatoarele impartiri succesive la 2:

    convbase2 (6K)

    2410=110002

    Nici acest calcul simplu nu este usor de facut in gand. Din acest motiv programatorii prefera sa foloseasca in locul reprezentarii in binar sau in zecimal reprezentarea in baza 8 sau in baza 16, ambele oferind avantajul unei conversii in / din binar care nu presupune nici un fel de calcule si se face in gand.

    Astfel 000110100010101100111100010011012 pentru a fi reprezentat in baza 16 se aranjeaza in grupe de 4 cifre 0001 1010 0010 1011 0011 1100 0100 1101, inlocuind apoi fiecare grupa cu echivalentul ei in baza 16 (1 pt.0001, 2 pt. 0010, ... A pt. 1010 , ... F pt.1111. Se obtine usor reprezentarea in hex 1a2b3c4d16.

    In octal (baza 8) se procedeaza la fel doar ca gruparea se face in grupe de 3 cifre care se inlocuiesc apoi cu echivalentul lor in baza 8 (cifre de la 0 la 7): 00 011 010 001 010 110 011 110 001 001 101. Se obtine foarte usor reprezentarea in octal 32126361158

    Operatia inversa de conversie din octal/hex in binar este si ea la fel de usoara, inlcuindu-se fiecare cifra ocatala/hex cu un grupul echivalent de 3 respectiv 4 cifre binare: Astfel 308 = 011 0002 (2410)iar in baza 16 3016 = 0011 0000 (4810)

    Pentru programatori Canon F-604 este un instrument util, prevazand functii de conversie intre reprezentari in bazele de numeratie 2, 8, 16 si 10 ale numerelor intregi cu semn precum si efectuarea de calcule aritmetice cu acestea.

  • Calculul in binar, octal si hex

    Canon F-604 permite calculul expresiilor cu termeni intregi cu semn, cu cele patru operatii aritmetice de baza si paranteze in modurile de lucru binar, octal si hexadecimal. Pe langa operatiile aritmetice ste permisa si operatia de schimbare a semnului [+/-]. Restul functiilor sunt dezactivate.

    In modul normal, reprezentarea numerelor este in sistem de numeratie zecimal. Introducand secventa [2ndF][→BIN] calculatorul este trecut in modul de lucru binar, numerele fiind introduse si afisate in sistem de numeratie in baza 2.

    Numarul din registrul X care era afisat pe display in baza zece este trunchiat la intreg si daca este cuprins in intervalul de valori [-512, 511] afisat in baza 2. Incercarea de a converti in binar un numar mai mare ca 511 sau mai mic decat -512 va genera eroare.

    Numerele ce pot fi introduse/afisate in modul de lucru binar sunt cuprinse intre 10000 000002 (-51210) si 1111 111112 (51110) Daca rezultatul unei operatii in modul de lucru binar este in afara intervalului admis [-512, 511] iarasi va fi semnalata eroare. De exemplu daca se introduce.

    De exemplu incercarea de a schimba in modul binar de lucru semnul lui 10000 00000 (-512) tastand secventa 10000 00000 [+/-] va rezulta intr-o eroare deoarece -10000 00000 = -(-512) = 512 iesind din plaja de valori admise.

    Tastand [2ndF][→OCT] calculatorul trece in modul de lucru OCT cu numere reprezentate in baza 8. Numarul din registrul X este trunchiat la intreg (daca conversia este din modul de lucru zecimal) si afisat in baza opt.

    Tastand [2ndF][→HEX] calculatorul trece in modul de lucru HEX cu numere reprezentate in baza 16. Numarul din registrul X este trunchiat la intreg (daca conversia este din modul de lucru zecimal) si afisat in baza 16.

    In acest mod de lucru pentru a introduce cifrele A, B, C, D, E si F ale bazei 16 se apasa tastele A[Exp], B[yx], C[√], D[→DRG], E[ln] respectiv F[log].

ANEXA A - FACTORI DE CONVERSIE UZUALI

Units To convert in Multiply by
Centimeters Inches 0.3937
Square Centimeters Square Inches 0.15500
Cubic Centimeters Fluid Ounces 0.0338
Cubic Centimeters Cubic Inches 0.061023
Quarts Cubic Centimeters 946.359
Decimeters Inches 4
Dozen Line 1/12
Dozen Inches 0.0074
Gallons Cubic Centimeters 3,785.4
Grams Grains 15.4324
Grams Kilograms 0.001
Grams Pounds, Troy 0.00268
Grams Milligrams 1,000
Grams Ounces 0.03527
Grams Ounces, Troy 0.03215
Grams Carats 5
Hectares Acres 2.5
Kilograms Grams 1,000
Kilograms Grains 1532.3
Kilograms Pounds, Troy 2.6792
Kilograms Milligrams 1,000,000
Kilometers Miles 0.6214
Liters Quarts (liquid) 1.06
Liters Quarts (dry) 0.9
Liters Gallons 0.26418
Liters Ounces 33.8148
Meters Feet 3.2808
Meters Inches 39.37
Meters Yards 1.0936
Milligrams Grams 0.001
Milligrams Grains 0.0154
Milligrams Kilograms 0.000001
Square Millimeters  Square Inches 0.0516
Miles Kilometers 1.6093
Square Miles Acres 640
Nautic Miles Kilometers 1.853
Fluid Ounces Cubic Centimeters 29.5737
Feet Centimeters 30.4801
Feet Meters 0.304801
Square Feet Square Inches 144
Cubic Feet Cubic Centimeters 28.317
Inches Centimeters 2.54001
Inches Millimeters 25.4
Square Inches  Square Centimeters 6.45163
Square Inches Square Millimeters 625
Cubic Inches Cubic Centimeters 16.3872
Carats Grams 0.2
Carats Grans 3.08647
Metric Tons Pounds 2,200
Yards Meters 0.9144
Square Yards Square Feet

9

ANEXA B - CONSTANTE STIINTIFICE UZUALE

FUNDAMENTAL PHYSICAL CONSTANTS

Planck constant h
6.626075510-34 Js
h / (2 .pi.) = 1.0545726610-34 Js
Boltzmann constant kB
1.38065810-23 J/K        ( = 8.61738510-5 eV/K )
Elementary charge e
1.6021773310-19 C
Avogadro number NA
6.02213671023 particles/mol
Speed of light c
2.99792458108 m/s
Permeability of vacuum .mu.0
.mu.0 = 4 .pi. 10-7 T2m3/J
12.56637061410-7 T2m3/J
Permittivity of vacuum .epsilon.0
.epsilon.0 = 1 / (.mu.0 c2)
8.85418781710-12 C2/Jm
Fine structure constant .alpha.
1 / 137.0359895
Electron rest mass me
9.109389710-31 kg
Proton rest mass mp
1.672623110-27 kg
Neutron rest mass mn
1.674928610-27 kg
Bohr magneton .mu.B
.mu.B = e h / (4 .pi. me)
9.274015410-24 J/T
Nuclear magneton .mu.N
.mu.N = e h / (4 .pi. mp)
5.050786610-27 J/T
Free electron g factor ge
2.002319304386
Free electron gyromagnetic ratio .gamma.e
.gamma.e = 2 .pi. ge .mu.B / h
1.76085921011 1/sT
.gamma.e / (2 .pi.) = 28.024944 GHz/T
Electron magnetic moment .mu.e
.mu.e = -(1/2) ge .mu.B
-9.284770110-24 J/T
Proton gyromagnetic ratio (H2O) .gamma.p
2.67515255108 1/sT
.gamma.p / (2 .pi.) = 42.576375 MHz/T
Proton magnetic moment .mu.p
1.4106076110-26 J/T
Proton-electron ratios
mp / me = 1836.152701
.mu.e / .mu.p = 658.2106881
.gamma.e / .gamma.p = 658.2275841 (protons in water)

Charge-to-mass ratio for the electron e / me
1.758801011 C/kg
Atomic mass unit amu
1.6605410-27 kg
Bohr radius a0
5.2917710-11 m
Electron radius re
2.8179210-15 m
Gas constant R
R = NA kB
8.31451 m2kg/s2Kmol
Molar volume Vmol
22.41383 m3/kmol
Faraday constant F
F = NA e
9.64846104 C/mol
Proton g factor (Land factor) gH
5.585
Gravitational constant G
(6.673 +- 0.010)10-11 m3/kgs2 (CODATA)
6.6739010-11 m3/kgs2 +- 0.0014 % (Jens Gundlach, Univ. of Washington; from: Der Tagesspiegel 2000-05-08)
(6.6873 +- 0.0094)10-11 m3/kgs2 (Schwarz et al., Science 282, 2230 (1998))
Acceleration due to gravity g
9.80665 m/s2
Compton wavelength of the electron .lambda.c
.lambda.c = h / (me c)
2.4263110-12 m

ANEXA C - FORMULE GEOMETRICE UZUALE

Arii
Patratsquare (1K)
Dreptunghia⋅brect (1K)
Paralelogramb⋅hparral (1K)
Trapez(b1+b2)⋅h/2trap (1K)
Cercπ⋅r²circle (1K)
Elipsaπ⋅r1⋅r2ellipse (1K)
Triunghib⋅h/2triangle (1K)
Triunghi echilateral√3⋅a²/4
Triunghi LULa⋅b⋅sin(α)/2
Triunghi LLL√[p(p-a)(p-b)(p-c)]; p= (a+b+c)/2 Formula lui Heron
Poligon regulatn⋅sin(360°/n)s²/2 unde n = numarul de laturi;
s = distanta de la centru la varfuri
Volume
Cubcube (1K)
Prismaa⋅b⋅crprism (1K)
Prisma neregulatab⋅hprism (1K)
Cilindrub⋅h = π⋅r²⋅hcylinder (1K)
Piramidab⋅h/3pyrimid (1K)
Conb⋅h/3 = π⋅r²⋅h/3cone (1K)
Sferab⋅h/3 = 4⋅π⋅r³/3circle (1K)
Elipsoidb⋅h/3 = 4⋅π⋅r1⋅r2⋅r3/3ellipoid (1K)
Suprafete
Cub6⋅a²cube (1K)
Prisma Aria lateralaPerimetru(b)⋅Lprism (1K)
Prisma Aria totalaPerimetru(b)⋅L + 2⋅bprism (1K)
Sfera4⋅π⋅r²circle (1K)