home basics

CASIO fx-82SX FRACTION

GHID DE UTILIZARE

casio-fx82sx (31K) CASIO_fx-82SX (83K)

PORNIRE/OPRIRE

AC (3K)

Pornirea se face apasand tasta rosie [AC | SAC | On] . Pe afisaj trebuie sa apara cifra 0. Oprirea se face apasand tasta [OFF] din coltul din dreapta sus a tastaturii.

OPRIREA AUTOMATA

Daca timp de aproximativ 6 minute nu se apasa nici o tasta, calculatorul se opreste automat.

TASTATURA

SHIFT (1K)

Ca mai toate calculatoarele stiintifice de la HP-45 incoace, CASIO fx-82SX are o tastatura duala, majoritatea tastelor avand asociate doua functii. In coltul din stanga sus se gaseste o tasta etichetata SHIFT care daca este apasata in coltul din stanga sus al displayului este afisat simbolul SHIFT indicand ca shift-area tastaturii este activata.

Daca tasta [SHIFT] a fost apasata din greseala, pentru anulare se mai apasa odata. Simbolul SHIFT dispare de pe display iar shift-area tastaturii este dezactivata.

RADIC (1K)

PLASMN (1K)

Pe tastele care au asociate doua functii, simbolul uneia dintre functii este inscriptionat chiar pe tasta, indicand faptul ca apasarea acesteia cu tastatura neshiftata determina executia functiei respective. Numele celei de a doua functii este imprimat cu galben deasupra tastei.

Pentru a executa a doua functie, se apasa intai tasta [SHIFT] pentru a activa shiftarea tastaturii (pe display aparand simbolul SHIFT) si apoi tasta corespunzatoare care are simbolul functiei imprimat deasupra. Simbolul SHIFT dispare de pe display iar cea de a doua functie asociata tastei apasate este executata.

De exemplu apasand direct tasta [√ | x²] (avand inscriptionat simbolul primei functii √ si avand deasupra imprimat cu galben simbolul x²; al celei de a doua functii) se efectueaza extragerea radacinii patrate. Daca insa se apasa intai tasta [SHIFT] si apoi tasta [√ | x²] se calculeaza patratul numarului afisat pe display. Similar apasand tasta [+/- | ³√] se executa schimbarea de semna a numarului afisat iar apasand [SHIFT][+/- | ³√] radacina cubica a acestuia.

Pentru simplificarea notatiei, pentru a desemna apasarea unei taste voi inscrie intre paranteze drepte numai simbolul functiei invocate (prima sau a doua).

Cand se executa prima functie asociata tastei (fara a apasa tasta [SHIFT]), voi scrie in loc de [√ | x²] doar [√] indicand ca se executa extragerea radacinii patrate.

Cand se executa a doua functie asociata tastei, in loc de [SHIFT][√ | x²] voi scrie [SHIFT][ x²] indicand ca se executa functia de ridicare la patrat.

AFISAJ

Afisajul la fx-82SX se face pe un display LCD cu 7 segmente permitand doua sisteme de afisare: in virgula mobila (floating point) si in notatie stiintifica (scientific notation).

fx82disp (26K)

In mod normal numarul apare pe display reprezentat in virgula mobila, primele sale 10 cifre semnificative aparand pe display. Daca insa numarul afisat x este in valoare absoluta este mai mic decat 0.000000001, sau mai mare decat 999999999 atunci numarul de cifre ce trebuie afisate devine mai mare de 10 si deci in sistemul de reprezentare in virgula mobila afisarea valorii corecte a numarului nu mai este posibila. Atunci se face automat trecerea la sistemul de afisare in notatie stiintifica: mantisa (10 cifre) si exponent(2 cifre).

Mantisa numarului consta din cele mai semnificative cifre ale numarului (maxim 10) cu punctul zecimal amplasat dupa prima cifra.

Exponentul reprezinta puterea lui 10 cu care trebuie inmultita mantisa pentru a obtine numarul original.

Simbolurile nu sunt afisate permanent ele fiind indicatori ai diferitelor moduri de lucru ale calculatorului:

  • SHIFT : Apare atunci cand tasta [SHIFT] a fost apasata.
  • MODE : Indica faptul ca a fost apasata tasta [MODE]de selectie a modului de lucru.
  • M :Indica faptul ca memoria independenta stocheaza o valoare numerica (diferita de 0).
  • K : Apare cand se efectueaza calcule cu o constanta.
  • DEG/RAD/GRAD: Permanent este afisat unul din acesti indicatori care indica unitatea de masura ale unghiurilor selectata curent (grade sexagesimle, radiani sau grade centesimale)

    Modul de lucru selectat (DEG/RAD/GRD) nu se pierde la oprirea calculatorului.

  • SD : Indica selectarea modului de lucru statistic prin apasarea tastelor [MODE] [.].
  • FIX : Indica selectarea modului de afisare a datelor in virgula fiza (cu numar fixat de cifre zecimale) prin apasarea tastelor [MODE] [7].
  • SCI : Indica selectarea modului de afisare a datelor in notatie stiintifica (cu numar fixat de cifre semnificative) prin apasarea tastelor [MODE] [7].

INTRODUCEREA DATELOR

Asa cum am aratat mai sus, in mod normal CASIO fx-82SX opereaza cu un punct zecimal flotant (virgula mobila). In timp ce sunt introduse cifrele partii intregi a mantisei punctul zecimal ramane fixat in partea dreapta a display-ului. Apasarea tastei [.] marcheaza inceputul introducerii partii fractionare a numarului. Pe masura ce sunt tastate cifrele partii fractionare punctul zecimal se deplaseze spre stanga.

fptdisplay (10K)

Nu pot fi introduse numere cu mai mult de 10 cifre. Toate apasarile de taste numerice [0]...[9] dupa ce au fost deja introduse 10 cifre sunt ignorate.

CKey (1K)

Un numar introdus gresit poate fi corectat apasand tasta [C] (CLEAR ENTRY), toate cifrele sale fiind sterse si pe display afisat numarul 0. Dupa apasarea tastei [C] si stergerea numarului se poate continua introducerea corecta a numarului.

Taste apasate    Afisaj    
[1][2][.][3][4]12.34
[+/-]-12.34
[C]0
[3][4][.][5][6]34.56

Apasarea tastei [+/-] determina schimbarea semnului numarului introdus dar nu finalizeaza introducerea acestuia, dupa apasarea ei putand fi tastate in continuare alte cifre care vor fi adaugate la coada sau actionata tasta de corectie [C].

Introducerea numarului este finalizata la apasarea oricarei taste asociate cu o operatie aritmetica ([+], [-], [×], [÷], [%], [=]), o functie (sin, cos, etc.), sau stocarea in registrul de memorie independenta M ([Min], [M+])).

Daca numarul a fost introdus gresit, dupa finalizare, nu mai este posibila corectia prin apasarea tastei [C], trebuind sa fie anulate toate operatiile introduse pana in acel moment prin apasarea tastei [AC] (ALL CLEAR]si reluat .

La numerele negative semnul minus este afisat imediat inaintea primei cifre a numarului si este flotant, deplasandu-se spre stanga odata cu deplasarea acesteia pe masura ce noi cifre sunt adaugate la coada.

ATENTIE! O greseala frecventa este apasarea tastei [-] care reprezinta operatia aritmetica de scadere in locul tastei [+/-] reprezentand operatia de schimbare de semn.

Desi displayul permite afisarea a maximum 10 cifre ale numarului, intern numerele sunt reprezentate avand mantisa de 12 cifre din care doar primele 10, cele mai semnificative, sunt afisate.

Deoarece nu este posibila introducerea unui numar cu 12 cifre, astfel de numere pot fi introduse numai prin sumarea a doua numere:

EnterPress    Display    
1234567890[+]1234567890.
.54[=]1234567891.

Rezultatul adunarii este reprezentat in memorie cu 12 cifre, fiind 1234567890.54. Pe display sunt afisate doar primele 10 cifre din cele 12, ultima fiind rotunjita dupa regula 5/4:
- daca in reprezentarea interna cifra imediat urmatoare ultimei cifre de afisat (a 10-a in cazul nostru) este mai mare sau egala cu 5, ultima cifra afisata este rotunjita cu 1.
- Daca cifra imediat urmatoare ultimei cifre de afisat este 4 sau mai mica decat 4 atunci ultima cifra afisata nu este rotunjita.

In cazul nostru, cifra urmatoare ultimei cifre de afisat (0) este 6. Deoarece 6 > 5, cifra afisata este ultima cifra de afisat rotunjita cu 1 (de la 7 la 8).

Daca de exemplu am fi adunat la 1234567890. numarul .45 in loc de .54 rezultatul afisat ar fi fost 1234567890.

Scopul reprezentarii interne pe un numar mai mare de digiti decat sunt afisate pe dispaly este de a mari precizia de calcul. In acest fel erorile de calcul vor afecta in primul rand ultimile doua cifre ale reprezentarii interne a rezultatului si nu vor fi vizibile in rezultatul afisat pe display.

De exemplu fractia 1/3 reprezentata ca fractie zecimala este 0.(3) - o fractie periodica, avand un numar infinit de zecimale toate egale cu 3. Calculatorul, avand o precizie finita si neputand memora un numar infinit de cifre la calculul impartirii 1 ÷ 3 va retine in memorie doar 12 cifre ale mantisei rezultatului: (3.33333333333 10-01).

De aceea desi teoretic 1 ÷ 3 × 3 = 1, incercand sa calculam aceasta expresie cu calculatorul va rezulta ca 1 ÷ 3 &rArr 3.33333333333 10-01 iar 3.33333333333 10-01 × 3. &rArr 9.99999999999 10-01

Daca displayul ar fi avut mai mult de 12 digiti toate cifrele rezultatului ar fi afisate, pe display aparand 0.999999999999 si nu 1. care este rezultatul exact.

Daca insa se afiseaza doar 10 cifre din cele 12 ale rezultatului cu aplicarea rotunjirii dupa regula 5/4 pe display este afisat 1 desi in memorie acest numar are in continuare valoarea aproximativa 0.999999999999 rezultata din calcul.

Un caz particular legat de introducerea datelor este tastarea numarului π care este folosit foarte des in calculele stiintifice si tehnice.

Numarul π este irational, avand o infinitate de zecimale. Cu toate acestea, in multe cazuri este suficienta utilizarea valorii sale aproximative 3.14 sau a numarului rational 22/7 = 3.142857... folosita inca din antichitate ca substitut al numarului irational π= 3.1415926535.... Utilizarea aproximatiei cu doua zecimale exacte este acceptabila daca si ceilalti operanzi au acelasi numar de cifre semnificative (3) sau mai putine.

De exemplu daca avem de calculat volumul de pamant excavat dintr-o groapa de 375 de cm diametru si 255cm adancime (dimensiuni obtinute prin masurarea cu ruleta cu o precizie de ± 1.0 cm) pentru a stabili cate camioane sunt necesare pentru a transporta pamantul excavat, acesta e dat de expresia:

V = (3.14 × 3.75 2 ÷ 4) × 2.55 [m 3 ]

In acest caz numarul de cifre semnificative ale operanzilor si al aproximatiei lui π este acelasi: 3.

EnterPress    Display    
[AC] [(]0.
3.14[×]3.14
3.75[SHIFT][x2][÷]44.15625
4[)][×]11.0390625
2.55[=]28.14960938

Rezultatul afisat de calculator 28.14960938 trebuie aproximat la 28.1 m3. Restul zecimalelor rezultatului nu au relevanta datorita impreciziei masuratorilor si aproximarii numarului π doar cu doua zecimale exacte.

In acest caz, avand in vedere natura problemei si obiectivul urmarit precizia este foarte buna. Daca insa este vorba de evaluarea unor expresii a caror operanzi sunt numere cu un numar mare de cifre semnificative (masuratori obtinute cu aparate de mare precizie) si se doreste obtinerea unui rezultat cu o precizie mare atunci lucrurile se schimba.

Folosirea in calcule a numarului π exprimat cu doar doua zecimale exacte ar reduce precizia rezultatului la doar doua zecimale exacte ceea ce face inutila efectuarea masuratorilor cu precizie foarte mare ceea ce este inacceptabil.

O solutie este folosirea in locul lui 3.14 a unei formule empirice miraculoase cum ar fi cea descoperita de matematicianul si astronomul chinez Zu Chongzh (429-500).

El recomanda folosirea in calcule a numarului rational 355/113 a carei valoare aproximeaza numarul π cu 6 zecimale exacte:

355 ÷ 177 = 3.14159292...

Pe de alta parte, introducerea repetata a primelor 10 cifre ale numarului π (3.141592654) este o operatie consumatoare de timp. Din acest motiv, toate calculatoarelor stiintifice incepand cu primul HP-35 au prevazuta o tasta [SHIFT][π] a carei apasare introduce numarul π cu atatea cifre exacte cate permite arhitectura calculatorului.

Nici CASIO fx-82SX nu se abate de la aceasta regula. Apasand tasta [SHIFT] [π] numarul 3.1415926536 (11 cifre exacte) este introdus ca operand. Pe display apare 3.141592654 fiind afisate numai primele 10 cifre ale reprezentarii interna de 12 cifre, (ultima rotunjita la 4 conform regulei 5/4).

Acest lucru se poate verifica introducand urmatoarea secventa:

EnterPress    Display    
[SHIFT][π]3.141592654
3.141592653[-]6. -10

Deci diferenta dintre numarul π introdus prin apasrea tastei [SHIFT][π] si numarul 3.141592653 introdus cifra cu cifra este 0.0000000006 (6. ⋅ 10 -10).

Rezulta ca de fapt reprezentarea interna, pe 12 cifre a numarului introdus prin apasarea tastei [SHIFT][π] este 3.14159265360 si nu 3.141592654 cat a fost afisat pe display.

Utilizarea tastei [SHIFT][π] asigura o precizie mai buna, numarul introdus avand 11 cifre exacte si nu 10 cate am putea tasta daca am introduce numarul π cifra cu cifra de la tastatura.

AFISAREA DATELOR IN MODUL NORMAL (NORM)

Se stie ca unda electromagnetica se propaga in vid cu viteza de aproximativ trei sute de milioane de metri pe secunda si ca lungimea de unda a radiatiilor electromagnetice este data de formula:

λ = c / ν

unde c este viteza luminii iar &nu este frecventa. In baza acestei formule, frecventa unei radiatii cu lungimea de unda λ = 875 nm o putem calcula cu relatia:

ν = c / λ

Cand am trece insa la calcule ar fi foarte incomod sa scriem ca

ν = 300000000 / 0.000000875 = 343 000 000 000 000 Hz.

In cercetarea stiintifica si inginerie se foloseste pentru reprezentarea numerelor foarte mari (cum ar fi viteza luminii) sau foarte mici (cum ar fi lungimea de unda a radiatiei electromagnetice exprimata in metri sau masa electronului) o notatie speciala numita notatia stiintifica sau exponentiala. Notatia stiintifica este bazata pe puteri ale numarului de baza 10 numerele fiind exprimate ca un produs dintre un coeficient numit mantisa, avand valoarea absoluta cuprinsa intre 1 si 9 el fiind format din cifrele semnificative ale numarului cu punctul zecimal plasat imediat dupa prima cifra, (avand deci forma standard ±n.zzzz... unde 1 ≤ n ≤ 9) si o putere a lui 10 numita baza: 10±mm.... Stfel numarul 343 000 000 000 000 se exprima in notatie stiintifica astfel:

Cifrele semnificative ale numarului sunt 3, 4 si 3, zerourile avand doar rolul de a pozitiona aceste cifre in raport cu punctul zecimal in functie de unitatea de masura. Daca exprimam frecventa in KHz ea ar fi fost 343 000 000 000 iar expimata in GHz 343 000 000. In toate cazurile cifrele semnificative sunt trei: 3, 4, si 3. Pozitionarea lor fata de punctul zecimal se face prin adaugare de zerouri intre punctul zecimal si cifre. (Similar lungimea de unda exprimata in nanometri este 845, dar daca o exprimam in microni este 0.845. Exprimata in mm aceeasi lungime de unda este 0.000845, in cm 0.0000845 iar in metri 0.000000845. In toate cazurile cifrele semnificative sunt trei: 8, 4, si 5. Pozitionarea lor fata de punctul zecimal se face prin adaugare de zerouri intre punctul zecimal si cifre.)

Mantisa numarului este deci 3.43 iar baza 1014 iar numarul in notatie stiintifica se scrie ca: 3.43⋅1014. In locul acestei notatii se mai foloseste (mai ales de catre ingineri si programatori) notatia 3.43E14 sau 3.43e14. Astfel expresia noastra folosind notatia stiintifica devine:

ν = 3⋅108 / 8.75⋅10-7 = 3.43⋅1014 Hz.

sau:

ν = 3.E8 / 8.75E-7 = 3.43E14 Hz.

sau:

ν = 3.e8 / 8.75e-7 = 3.43e14 Hz.

CASIO fx-82SX permite introducerea numerelor in format exponential astfel:

  • Se introduce mantisa si daca aceasta este negativa semnul acesteia (apasand tasta [+/-]). Atentie, o greseala frecventa este apasarea tastei [−] pentru schimbarea semnului numarului afisat ceea ce este incorect. Pentru schimbarea semnului trebuie apasata tasta [+/-] care determina efectuarea operatiei de schimbare a semnului numarului afisat, in timp ce apasarea tastei [−] determina efectuarea operatiei de scadere a numarului afisat (continut de registrul acumulator) din numarul memorat in registrul de lucru Y, rezultatul fiind stocat in X vechea valoare fiind suprascrisa ceea ce este in majoritatea cazurilor (cand Y nu este nul) la rezultate eronate.

  • Dupa introducerea mantisei se apasa tasta [EXP].

    Atentie! O greseala frecventa este apasarea tastei [×] in locul tastei [EXP], ceea ce va determina efectuarea inmultirii dintre numarul afisat, continut de registrul X (mantisa introdusa la pasul anterior) si cel din registrul Y (ramas de la calculele anterioare sau nul) ceea ce va duce la obtinerea unui rezultat eronat.

  • Se introduce exponentul si daca acesta este negativ, semnul acestuia (apasand tasta [+/-]).

Astfel, pentru calculul frecventei din exemplul nostru se introduce secventa:

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9]0.
3[EXP]3. 00
83. 08
[÷]300000000.
8.75[EXP]8.75 00
7[+/-]8.75 -07
[=]3.42857142914

Daca numerele ce pot fi exprimate pe zece cifre (avand valori absolute cuprinse intre 1.e-9 si 9999999999.) pot fi introduse optional fie in virgula flotanta, fie in format exponential, orice numar mai mic decat |± 1 ⋅ 10 -9| sau mai mare decat |± 9999999999.| nu poate fi introdus altfel decat in format exponential deoarece are mai mult de 10 cifre si nu incape pe display.

La finalizarea introducerii numarului (prin apasarea tastei unei operatii, functii, etc.), rezultatul este afisat in virgula mobila (daca acest lucru este posibil).

De exemplu tastarea secventei 1.2 [Exp] 9 [=] va determina afisarea pe display a numarului 1200000000.

Numerele ce nu pot fi afisate in formatul virgula mobila (modul normal de afisare cu punct zecimal flotant)sunt afisate automat folosind notatia stiintifica.

snotdisplay (12K)

De asemenea, rezultatele mai mici decat |± 1 ⋅ 10 -9| sau mai mari decat |± 9999999999.| sunt afisate automat in notatia stiintifica. Asa s-a intamplat in cazul frecventei calculate in exemplul anterior. Daca 3.e8 a fost afisat dupa introducere in virgula mobila (300000000.) deoarece necesita pentru afisare numai 9 cifre (|± 1 ⋅ 10 -9| < 300000000. < |± 9999999999.|), frecventa rezultata din calcul 3.428571429 ⋅ 10 14 ar fi necesitat pentru afisare in virgula mobila 15 cifre. De aceea ea a fost afisata automat in notatie stiintifica pentru a incapea pe cele 10 cifre ale display-ului.

Nu toate cifrele unui numar sunt semnificative. Astfel daca exprimam 12.5 cm in microni obtinem 125000μ. Aceeasi lungime exprimata in metri este 0.125m iar in kilometri 0.000125. Faptul ca reprezentarea in microni (125000) are 6 cifre sau cea in km (0.000125) are 7 cifre, nu face ca acestea sa fie mai precise decat lungimea reprezentata in cm (12.5) sau in mm (125) care au numai 3 cifre. In toate cazurile numarul de cifre semnificative este 3, restul de cifre (zerouri) avand doar rol de pozitionare a cifrelor semnificative fata de punctul zecimal.

Regulile dupa care determinam care cifre ale unui numar sunt semnificative si care nu sunt:

  • Cifrele de la 1 la 9 sunt intotdeauna semnificative(de exemplu 123).

  • Zerourile amplasate intre doua cifre semnificative sunt intotdeauna semnificative (de exemplu 120003)

  • Zerourile amplasate la dreapta punctului zecimal si a cifrelor semnificative sunt semnificative (de exemplu 123.000 sau 12.3000) deoarece daca nu ar fi, nici nu ar trebui sa fie scrise.

    Daca au fost scrise acest lucru s-a facut pentru a arata ca se stie cu certitudine ca primele trei cifre zecimale ale numarului sunt zero.

  • Zerourile folosite pentru pozitionarea cifrelor semnificative fata de punctul zecimal nu sunt semnificative ( de exemplu 123000000. sau .000000123)

fx82normmode (19K)

Modul de afisare in virgula mobila este selectat apasand tastele [MODE][9] asa cum este indicat pentru modul NORM in tabelul memorator de setari imprimat sub display .

De fapt CASIO fx-82SX are doua formate de afisare in modul NORM: NORM1 si NORM2.

In modul NORM1 notatia stiintifica (cu exponent) este folosita automat pentru numere intregi (fara zecimale) cu mai mult de 10 cifre ( numarul este mai mari in valoare absoluta ca 9999999999 sau pentru numere mai mici in valoare absoluta ca 0.01

In modul NORM2 notatia stiintifica (cu exponent) este folosita automat pentru numere mai mari in valoare absoluta ca 9999999999. sau pentru numere mai mici in valoare absoluta ca decat 0.0000000001

Astfel rezultatul impartirii lui 1 / 200 = 0.005 va fi afisat ca 5. e-03 (0.005 < 0.01) in formatul NORM1 si 0.005 in formatul NORM2.

Pe display nu apare nici o indicatie privind formatul selectat(NORM1 sau NORM2).

Putem insa afla formatul curent calculand 1 ÷ 200. Modul in care este afisat rezultatul ne va indica formatul curent:

norm1-2 (13K)

Daca se calculeaza 1.2⋅10-8 + 3.456789⋅10-10 si rezultatul afisat este 0.000000012, este clar ca suntem in modul NORM2 si ca foarte probabil ca mai sunt cateva zecimale care nu sunt afisate ceea ce afecteaza precizia rezultatului.

In aceste conditii, pentru a afla si restul de cifre semnificative se apasa [MODE]9 si se comuta in formatul NORM1 numarul fiind afisat in notatie stiintifica relevandu-se toate cifrele semnificative ale numarului: 1.23456789 10-8.

Deci in modul NORM1 calculatorul abandoneaza modul normal imediat ce are de afisat un numar mai mic de 0.01, trecand in modul de afisare in notatie stiintifica pentru a afisa toate cifrele smnificative ale numarului.

In modul NORM2 calculatorul incearca sa ramana in modul de afisare in virgula mobila chiar si pentru numere foarte mici, cu pretul afisarii unui numar mare de zerouri nesemnificative in detrimentul preciziei, cifrele zecimale semnificative nefiind afisate.

De exemplu calcului expresiei 5⋅109 + 7⋅109 prin tastarea secventei 5 [EXP] 9 [+] 7 [EXP] 9 [=] determina afisarea rezultatului in notatie stiintifica 1.2 10 deoarece in virgula mobila ar fi trebuit sa fie afisat 12 000 000 000. dar avand 11 cifre ele nu incap pe display-ul de numai 10 cifre.

In schimb, calcului expresiei 5⋅109 − 7⋅109 prin tastarea secventei 5 [EXP] 9 [−] 7 [EXP] 9 [=] determina afisarea rezultatului in virgula mobila: -2000000000.

Similar calcului expresiei 5⋅10-9 − 4.55⋅10-9 prin tastarea secventei 5 [EXP] 9 [+/-] [−] 4.5 [EXP] 9 [+/-] [=] determina afisarea rezultatului in notatie stiintifica 4.5 -10 deoarece in virgula mobila ar fi trebuit sa fie afisat 0.00000000045 dar avand 12 cifre, ultimile doua care sunt si cifrele semnificative ale numarului nu incap pe display-ul de numai 10 cifre.

In schimb, in modul NORM2 calcului expresiei 5⋅10-9 + 4.55⋅10-9 prin tastarea secventei 5 [EXP] 9 [+/-] [+] 4.5 [EXP] 9 [+/-] [=] determina afisarea rezultatului in virgula mobila: 0.000000009. In reprezentarea interna sunt pastrate toate cifrele semnificative ale rezultatului (955) lucru de care ne putem convinge inmultind rezultatul cu 109 si obtinand pe display numarul 9.55 sau pur si simplu schimband modul de afisare la NORM1 prin tastarea [MODE]9 ceea ce va schimba numarul afisat in 9.55 e-10.

AFISAREA DATELOR CU UN NUMAR FIX DE ZECIMALE (FIX)

Uneori este de dorit sa se limiteze numarul de zecimale afisate. De exemplu in calcule financiare numarul de zecimale afisate este de regula 2. De asemenea cand rezultatele calculelor urmeaza sa fie inscrise intr-un tabel, numarul de zecimale iarasi este de dorit sa fie acelasi pentru toate valorile de pe o coloana a tabelului.

In modul normal de afisare, in virgula flotanta, numarul de zecimale afisate este variabil, in functie de cate zecimale are efectiv rezultatul:

Exemplu: 1.5 × 2.5 × 3.5 × 4.5 × 5.5 = 324.84375
EnterPress    Display    
1.5[×]1.5
2.5[×]3.75
3.5[×]13.125
4.5[×]59.0625
5.5[=]324.84375

Se poate schimba modul de afisare astfel incat punctul zecimal sa nu mai fie flotant (mobil), fiind fixat pe display pe o pozitie prestabilita, rezultatele avand astfel mereu afisat acelasi numar de zecimale. Daca un rezultat are mai putine zecimale decat numarul fixat, atunci valoarea afisata este completata la dreapta cu atatea zerouri cate sunt necesare pentru a atinge numarul fixat de zecimale. Evident aceasta nu afecteaza valoarea numarului (1.5 = 1.500).

Daca numarul de zecimale a rezultatului este mai mare decat numarul de zecimale fixat, partea sa fractionara este trunchiata la numarul fixat de zecimale, ultima cifra rotunjindu-se dupa regula 5/4.

Desi afisate uneori cu mai putine zecimale, deci cu mai putine cifre si cu o precizie mai mica, intern numerele sunt reprezentate tot pe 12 cifre, precizia calculelor nefiind afectata in nici un fel de reducerea numarului de zecimale afisate.

Trecerea in acest mod de afisare cu punctul zecimal fixat (FIX) si stabilirea numarului de zecimale afisate se face tastand tastele [MODE]7 urmata de apasarea unei tasta numerice [0]...[9] pentru a specifica numarul de zecimale dorit.

Cand calculatorul se afla in modul de afisare FIX, acest lucru este indicat prin afisarea pe randul de sus al display-ului a simbolului FIX.

Exemplu: 1.5 × 2.5 × 3.5 × 4.5 × 5.5 = 324.844
EnterPress    Display    
[MODE][7][3]FIX0.000
1.5[×]1.500
2.5[×]3.750
3.5[×]13.125
4.5[×]59.063
5.5[=] 324.844
[MODE][9] 324.84375

Uneori rezultatele obtinute in acest mod pot fi usor derutante. De exemplu dupa setarea modului de afisare in virgula fixa cu doua zecimale ([MODE][7][2)) 0.01 ÷ 2 va da ca rezultat tot 0.01. Desi in reprezentarea interna rezultatul este 0.005, la afisare el este rotunjit la 0.01 deoarece conform regulei 5/4 a treia cifra zecimala este 5 &le 5.

De asemenea 0.01 ÷ 4 va da ca rezultat 0.00 deoarece 0.0025 nu mai este rotunjit a treia cifra zecimala este 2 &le 4.

AFISAREA DATELOR IN NOTATIE STIINTIFICA (SCI)

Pe langa mordurile de afisare in format virgula mobila (NORM) si fixa (FIX) CASIO fx-82SX prevede si modul de afisare SCI in care datele sunt afisate implicit in notatie stiintifica.

Pentru a trece calculatorul in modul de afisare a datelor in notatie stiintifica se introduce secventa [MODE][8] urmata de o tasta numerica [0]..[9] specificand numarul de cifre semnificative ale valorii afisate. Pe randul de sus al display-ului va apare afisat simbolul SCI

sigfig1 (5K)

De exemplu daca dorim sa calculam lungimea cercului din figura de mai sus trebuie sa masuram intai diametrul acestuia.

Daca se foloseste pentru masurare o rigla gradata, precizia masuararii este data de precizia riglei folosite. Astfel la masurare ar putea fi folosita o rigla gradata in centimetri ca in cazul exemplului de mai jos:

sigfig0 (6K)

Citind valoarea masurata pe a ceasta rigla pot spune ca diametrul cercului este aproximativ 4,4 cm. Daca altcineva ar face citirea ar putea opinia ca diametrul are 4,3 cm iar o a treia persoana ar sustine ca are 4,5 cm. Este clar ca daca de prima cifra a marimii masurate (4) putem fi siguri, de cea de a doua (3, 4 sau 5) lucrurile sunt discutabile.

A doua cifra este estimata de fiecare persoana in parte si pentru a impaca pe toata lumea spunem ca diametrul masurat al cercului este de 4,4 ±0,1 cm.

Daca folosim o rigla gradata in milimetri pentru a masura diametrul aceluiasi cerc obtinem:

sigfig (8K)

De data aceasta pot afirma ca diametriul are 4,36 cm. Altcineva ar putea insa indica valoarea 4,35 cm iar o atreia persoana ar citi pe rigla valoarea 4,37 cm.

Este clar ca acum disputa este in privinta celei de a treia cifre a numarului primele doua fiind clar pentru toat lumea ca sunt 4,3. A treia cifra este insa din nou una estimata si va trebui sa cadem de acord ca valoarea masurata este 4,37 ±0,01 cm.

Regula generala este ca eroarea de citire pe un aparat cu scala gradata este ±1/10 din valoarea celei mai mici diviziuni a scalei.

Astfel in cazul riglei gradate in centimetri, diviziunile cele mai mici (si singurele) sunt de 1cm eroarea de masurare este ±1/10⋅1cm = ±0,1 cm.

In cazul celei de a doua rigle, diviziunea minima este de 0,1 cm (1mm)si deci eroarea de masurare este ±1/10⋅0,1cm = ±0,01 cm.

In orice masurare numarul de cifre semnificative este critic. Acesta este numarul de cifre pe care persoana care face masurarea le considera a fi corecte si include atat cifrele exacte (sigure) cat si cifra estimata.

In concluzie, numarul de cifre semnificative este legat direct de masurare. daca persoana care face masuratoarea considera ca doua cifre semnificative sunt satisfacatoare pentru calculul marimii pe care vrea sa o determine va folosi rigla gradata in centimetri. Daca are insa nevoie de o masurare cu trei cifre semnificative va folosi rigla gradata in milimetri.

Calculand lungimea cercului folosind prima masurare (cu 2 cifre semnificative) se obtine L = π⋅4.4 = 13.82300768 cm.

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9][SHIFT][π][×]3.141592654
4.4[=]13.82300768

Daca insa am fi folosit la calcul D = 4,4 - 0.1 = 4,3 cm am fi obtinut L = 13.50884841

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9][SHIFT][π][×]3.141592654
4.3[=]13.50884841

Folosind la calcul D = 4,4 + 0,1 = 4,5 cm obtinem L = 14.13716694

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9][SHIFT][π][×]3.141592654
4.5[=]14.13716694

Astfel, desi am obtinut rezultate cu 8 cifre dupa virgula, numai prima cifra este aceeasi la toate trei. A doua cifra este discutabila iar cifrele de dupa virgula practic nu au nici o semnificatie. Degeaba am folosit la calcul numarul π cu 8 zecimale, rezultatul este grevat de imprecizia masurarii diametrului.

Putem spune ca L = 13.82300768 ± π/10 = 13.82300768 ± 0.3141592654

Deci cifrele de dupa virgula fiind afectate de eroarea de masurare nu sunt semnificative putand fi in relitate oricat. Rezultatul are ca cifre semnificative primele doua (13), Prima exacta si cea de a doua aproximativa 3 ± 1. adica:

L = 13 ±1.

Daca repetam calculele folosind masuratorile cu rigla gradata in milimetri obtinem:

L = π⋅4.36 = 13.69734397 cm.

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9][SHIFT][π][×]3.141592654
4.36[=]13.69734397

L = π⋅4.37 = 13.7287599 cm.

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9][SHIFT][π][×]3.141592654
4.37[=]13.7287599

L = π⋅4.35 = 13.66592804 cm.

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9][SHIFT][π][×]3.141592654
4.35[=]13.66592804
Adica rezultatele difera incepand de la a 3-a cifra.

L = 13.69734397 ± π/100 = 13.82300768 ± 0.03141592654

Deci numarul de cifre semnificative este 3 (2 exacte: 13, si una aproximativa 6 ± 1 Restul cifrelor rezultatului nu sunt semnificative putand fi in realitate oricat) adica:

L = 13.6 ±0.1

Exprimarea rezultatului masuratorilor in metri sau microni si nu in centimetri nu imbunatatesc precizia: D= 4.37cm = 0,0437m = 43700μ

Faptul ca numerele D = 0,0437m si D = 43700&mu au 5 cifre nu schimba situatia, ele avand in continuare doar trei cifre semnificative, cifrele de zero adaugate avand doar rolul de pozitionare a cifrelor semnificative fata de virgula zecimala in functie de unitatea de masura, dar nu afecteaza in nici un fel precizia rezultatului.

Daca dorim un rezultat cu mai multe cifre semnificative trebuie sa folosim un instrument de masura mai precis decat rigla gradata in milimetri cum ar fi sublerul are permite masuratorea cu 4 cifre semnificative :

subler (18K)

Sublerul masoara 2 zecimale exacte iar a treia, citita pe vernier este aproximativa.

De exemplu eu as putea sustine ca diviziunile de pe vernier si partea fixa a sublerului se suprapun la diviziunea 7. Altcineva ar considera ca ele se suprapun la 6,5 iar altcineva ar putea sustine ca ele coincid la 7,5. Dimensiunea unei diviziuni a vernierului este de 0,05mm (inscrisa pe vernier). Deci eroarea de masurare este ±0,05 mm si afecteaza cea de a 3-a zecimala a masuratorii rezultatul fiind cuprins intre 4,365 si 4,375 cm.

Deci numarul total de cifre semnificative ale diametrului D masurat va fi de 4. Pentru a obtine lungimea cercului cu mai mult de 4 cifre semnificative va trebui sa folosim micrometrul care ofera o eroare de masurare si mai mica.

Acum, revenind la modul de afisare in notatie stiintifica (SCI), acesta poate fi util deoarece permite afisarea pe display numai a cifrelor semnificative, fiind omise restul de cifre irelevante, care sunt afisate degeaba si doar deranjeaza la citirea rezultatului.

Astfel, daca voi calcula lungimea cercului pe baza valorii diametrului masurat cu rigla gradata in centimetri stabilesc numarul de cifre semnificative la 2:

EnterPress    Display    
[AC][MODE][8][2][SHIFT][π][×]SCI3.1
4.4[=]SCI1.4 01

Daca voi calcula lungimea cercului pe baza valorii diametrului masurat cu rigla gradata in milimetri se poate stabili numarul de cifre semnificative la 3:

EnterPress    Display    
[AC][MODE][8][3][SHIFT][π][×]SCI3.14
4.36[=]SCI1.37 01

Daca voi calcula lungimea cercului pe baza valorii diametrului masurat cu sublerul (D=4,365) se stabileste numarul de cifre semnificative la 4:

EnterPress    Display    
[AC][MODE][8][4][SHIFT][π][×]SCI3.142
4.365[=]SCI1.371 01

Astfel cifrele zecimale nesemnificative sunt eliminate automat din rezultatul afisat.

Modul de afisare nu afecteaza precizia calculului, operatiile efectuindu-se asupra reprezentarile interne ale datelor care nu sunt afectate de formatul de afisare. De aceea nu este necesar ca modul de afisare sa fie selectat inainte de efectuarea calculelor. Se poate trece la modul de afisare in notatie stiintifica oricand, chiar si dupa obtinerea rezultatului final. Modul SCI (ca si modul FIX de altfel) afecteaza numai formatul in care continutul registrului acumulator X este afisat pe display:

EnterPress    Display    
[AC][MODE][9][SHIFT][π][×]3.141592654
4.365[=]13.71305193
[MODE][8][4]SCI1.37101
[MODE][7][2]FIX13.71
[MODE][9]13.71305193

ROTUNJIREA DATELOR LA UN NUMAR FIXAT DE ZECIMALE

Daca se selecteaza modul de afisare in virgula fixa cu doua zecimale acest lucru nu afecteaza reprezentarea interna a operanzilor, rezultatul fiind calculat cu precizie maxim posibila (numar maxim de zecimale) si doar afisarea sa se face prin rotunjire dupa regula 5/4 la numarul fixat de zecimale.

De exemplu, stabilind modul de afisare in virgula fixa cu doua zecimale afisate adunarea 1.234 + 1.234 are ca rezultat 2.468 care este afisat rotunjit la doua zecimale ca fiind 2.47 (ultima zecimala este 8 > 5 si deci ultima zecimala afisata este rotunjita. Intern insa rezultatul ramane 2.468 lucru de care ma pot convinge trecand la modul de afisare normal:

EnterPress    Display    
[MODE][7][2]FIX0.00
1.234[+]FIX1.23
1.234[=]FIX2.47
[MODE][9]2.468

Apasarea tastei [SHIFT][RND] determina rotunjirea numarului din registrul X la numarul curent de zecimale afisate pe display. Practic, dupa executia operatiei [SHIFT][RND] reprezentarea interna a numarului din registrul X devine egala cu cea afisata.

Astfel rotunjind operanzii 1.234 din exemplul anterior la doua zecimale acestia devin 1.23 iar rezultatul va fi 1.23 + 1.23 = 2.46:

EnterPress    Display    
[MODE][7][2]FIX0.00
1.234[SHIFT][RND][+]FIX1.23
1.234[SHIFT][RND][=]FIX2.46
[MODE][9]2.46

CONVERSIA DATELOR IN UNITATI INGINERESTI

Sistemul International de unitati de masura (SI) are la origine sistemul metric.

La SI au aderat oficial toate statele lumii inclusiv cele anglofone cum ar fi SUA, Anglia, Canada, India, Australia care in mod traditional folosisera pana de curand sisteme de unitati de masura FPS (foot, pound, secunda) - sistemul imperial de unitati de masura utilizat in trecut pe tot teritoriul imperiului Britanic. Spre deosebire de sistemul FPS - un sistem arhaic, cladit de-a lungul secolelor si folosind ca etaloane dimensiuni ale unor instrumente agricole primitive, seminte de plante, etc. - sistemul metric a fost conceput de cele mai luminate minti ale secolului XVIII. In 1789, La initiativa lui Ludovic al XVI si al Academiei Franceze de Stiinte un grup de savanti din care facea parte si Lavoisier a fost insarcinat sa dezvolte un sistem de unitati de masura modern, universal, natural si unitar.

Principiile formulate de Academia Franceza pentru a sta la baza noului sistem au fost:

  • - Unitatile de masura trebuie sa fie bazate pe marimi invariante din natura (nu pe dimensiunea unor unelte agricole sau organe umane ca in sistemul imperial Britanic).

  • - Multiplii si submultiplii sa fie zecimali (puteri ale lui zece sau fractii zecimale, nu sesimi, doisprezecimi, sferturi, jumatati, duzini, etc. ca in sistemul imperial Britanic)

  • - Sistemul trebuia sa aibe un numar minim de marimi de baza din care sa fie derivate celalalte marimi.

Astfel daca in sistemul imperial Britanic pentru masurarea lungimii se foloseau o multitudine de unitati cum ar fi inch-ul, piciorul(feet), yard-ul, rod-ul, lantul(chain), furlong-ul, mila, mila nautica, leghea, etc.ficare avand la baza dimensiuni instrumente agricole arhaice si membre umane, in sistemul metric exista o singura unitate de masura - metrul, definit initial ca fiind 1/40,000,000 din circumferinta polara a Pamantului , o marime naturala si in buna masura invariabila.

Avantajele noului sistem de masura au facut ca el sa fie adoptat cu usurinta de lumea stiintifica dar a fost (si este) greu de acceptat de populatia mai putin scolita careia ii era mult mai usor sa opereze cu fractii - jumatati, sferturi, treimi, sesimi, doisprezecimi, etc. specifice sistemului FPS, decat cu fractii zecimale care necesita ceva scoala. Relevanta in acest sens este poezioara de mai jos publicata de William Rankine in 1874:

A Song (c1874)

When I was bound apprentice, and learned to use my hands,
Folk never talked of measures that came from foreign lands:
Now I'm a British Workman, too old to go to school;
So whether the chisel or file I hold, I'll stick to my three-foot rule.

Some talk of millimetres, and some of kilogrammes,
And some of decilitres, to measure beer and drams;
But I'm a British Workman, too old to go to school,
So by pounds I'll eat, and by quarts I'll drink, and
I'll work by my three-foot rule.

A party of astronomers went measuring the earth,
And forty million metres they took to be its girth;
Five hundred million inches, though, go through from pole to pole;
So let's stick to inches, feet and yards, and the good old three-foot rule.

W. M. Rankine, "The Three-Foot Rule," Songs and Fables 1874.

Asa stateau lucrurile in 1874 dar nici in ziua de azi ele nu stau cu mult mai grozav. In Septembrie 1999 nava Mars Climate Orbiter s-a zdrobit in atmosfera planetei Marte in loc sa se plaseze pe orbita acesteia cum ar fi trebuit.

Explicatia este data chiar de NASA:

An investigation board concluded that NASA engineers failed to convert English measures of rocket thrusts to newton, a metric system measuring rocket force. One English pound of force equals 4.45 newtons. A small difference between the two values caused the spacecraft to approach Mars at too low an altitude and the craft is thought to have smashed into the planet's atmosphere and was destroyed.

De fapt, s-a intamplat ca echipa NASA de la Jet Propulsion Laboratory din Pasadena sa lucreze cu date exprimate in SI de unitati de masura (NASA fiind o agentie guvernamentala a SUA care oficial a aderat la SI). Pe de alta parte Sistemul de propulsie al lui Mars Climate Orbiter care era comandat de programele de pilotaj facute de echipa NASA, era elaborat de o echipa de ingineri ai Lockheed Martin - o binecunoscuta companie privata din Denver care nefiind o agentie guvernamentala continua cu nonsalanta si inalta mandrie patriotica sa foloseasca vechiul sistem de masura FPS.

Cele doua echipe nu s-au coordonat si asa se face ca dupa o calatorie de 286 de zile, cand nava a ajuns la destinatie, programul NASA a transmis sistemului de propulsie comanda sa franeze cu o anumita forta exprimata in newtoni dar sistemul de propulsie Lockheed a crezut ca este vorba de pound forta si a franat cu o forta de 4,45 ori mai mare.

Halal 'mica diferenta'!

orbiter (10K)
Mars Climate Orbiter

lander (9K)
Mars Polar Lander

Ca urmare nava a ajuns cu 100 km mai aproape de Marte decat trebuia si in loc sa se plaseze pe orbita a plonjat in atmosfera planetei sub un unghi prost, zdrobindu-se pur si simplu de aceasta si luand foc.

Si uite asa au ars 125 milioane de dolari SUA in atmosfera rarefiata a planetei rosii si a fost compromisa o misiune cosmica complexa. Rolul lui Mars Climate Orbiter era sa receptioneze si sa retransmita date de la un al doilea modul - Mars Polar Lander ce urma sa aterizeze pe suprafata planetei la scurt timp dupa ce Orbiter s-ar fi plasat pe orbita.

Ulterior NASA a anuntat ca misiunea lui Polar Lander nu va fi afectata de distrugerea lui Climate Orbiter. Totusi am unele indoieli in aceasta privinta.

Sistemul FPS nu este un sistem prost. Ba din contra, pe langa faptul ca este pitoresc, este in acelasi timp practic, intuitiv si usor de folosit pentru aplicatii tehnice fara sa necesite sa faci scoli inalte.

La urma urmei cele mai importante realizari tehnice ale ultimelor doua secole - primii zgarie-nori, primele motoare, vapoare, avioane, telefoane, bombe atomice, supersonice, tranzistoare, calculatoare, microprocesoare, si cate si mai cate alte minuni ale tehnicii au fost facute folosind acest sistem perfect valabil.

Jos palaria si tot respectul pentru inginerii britanici si americani!

Problema lui este lipsa standardizarii... Desi unitatile de masura folosite de americani au aceleasi nume cu cele folosite de britanici, ele difera ca dimensiuni.

Piulitele metrice europene nu se infileteaza pe suruburile americane si britanice.

In contextul globalizarii sistemul FPS nu poate supravietui.

Revenind la Sistemul International de unitati. Acesta are la baza doar 7 marimi fizice:

Unitati de baza SI
Nume Simbol Cantitate
metru m lungime
kilogram kg masa
secunda s timp
amper A curent electric
kelvin K temperatura termodinamica
mol mol cantitate de substanta
candela cd intensitatea luminoasa

Restul marimilor si unitatile lor de masura sunt derivate din aceste sapte marimi/unitati de baza.

Fiecarei marimi fizice ii corespunde o singura unitate de masura. Multipli si submultiplii unitatilor de masura sunt puteri ale lui zece exprimate printr-un prefix (majuscula desemnad puteri pozitive ale lui 10 pentru multipli si minuscula desemnad puteri negative ale lui 10 pentru submultipli).

Prefixarea unitatilor de masura SI
Prefix yotta- zetta- exa- peta- tera- giga- mega- kilo- hecto- deca-
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
Prefix deci- centi- milli- micro- nano- pico- femto- atto- zepto- yocto-
Simbol d c m n p f a z y
Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Se observa in acest tabel ca majoritatea prefixelor multiplilor corespund unei puteri pozitive a lui 10 multiplu de trei iar ai submultiplilor puteri negative ale lui trei. Avand afisata pe display valoarea unei marimi fizice apasand tasta [ENG] (de la engineering ) valoarea este afisata in format exponential (mantisa si exponent) astfel incat exponentul sa fie un multiplu a lui trei (inclusiv 00).

De exemplu tastand 1 [ENG] pe display este afisat 1 00. La urmatoarele apasari ale tastei [ENG] punctul zecimal este deplasat spre dreapta cu cate trei pozitii pozitii (eventual cu completare cu zerouri nesemnificative): 1000.-03, 1000000.-06, 1000000000.-09 - ceea ce corespunde prefixelor m, μ, n, p. Urmatoarele apasari ale tastei [ENG] nu mai au efect deoarece numarul de cifre al mantisei a atins valoarea maxima (10)

Exponentul este actualizat corespunzator (decrementat cu trei dupa fiecare apasare a tastei [ENG]). Astfel exponentul poate lua valorile 00, -03, -06, -09.

Apasarea repetata a tastei [ENG] are efect atat timp cat dupa deplasare mai este inca posibila afisarea numarului (mantisa are pana in 10 cifre).

Daca se apasa tastele [SHIFT][ENG] punctul zecimal este deplasat spre stanga, eventual completandu-se cifrele mantisei de dupa punctul zecimal cu zerouri nesemnificative 0.00103, 0.00000106, 0.00000000109 ceea ce corespunde prefixelor k, M, G, T. Urmatoarele apasari ale tastei [SHIFT][ENG] nu mai au efect deoarece numarul de cifre al mantisei a atins valoarea maxima (10)

Exponentul este actualizat corespunzator (incrementat cu trei dupa fiecare apasare a tastei [SHIFT][ENG]). Astfel exponentul poate lua valorile 00, 03, 06, 09.

Apasarea repetata a tastei [ENG]/[SHIFT][ENG] are efect atat timp cat dupa deplasare mai este inca posibila afisarea numarului (mantisa are pana in 10 cifre).

Acest mecanism poate ajuta la conversia rezultatelor obtinute in unitati ingineresti.

De exemplu daca am obtinut rezultatul 1.325e11 [Hz] prin apasarea tastei [ENG] pe display este afisat 132.5e09 ceea ce corespunde la 132,5 [GHz].

Similar pentru a converti 123456 metri in kilometri se tasteaza 123456 [ENG], pe display aparand 123.456e03 ceea ce corespunde la 123.456 km. Apasand inca de doua ori tasta [ENG] se obtine 123456000e-03 ceea ce corespunde la 123456000 mm.

PRIORITATEA OPERATIILOR, NIVELURI DE CALCULE

Cu CASIO fx-82SX se pot efectua usor operatii elementare cum ar fi:

  • Calculul sumei 123 + 456: 123 [+] 456 [=] rezultand pe display 579.

  • Calculul radacinii patrate a lui 225: 225 [√] [=] rezultand 15.

  • Calculul lui 32.5: 3 [xy] 2.5 [=] rezultand 15.58845727

Pentru a combina mai multe operatii in secvente de calcul mai complexe este nevoie de un set de reguli care sa stabileasca ordinea in care se efectueaza operatiile din secventa.

Aceste reguli se implementeaza stabilind o ierarhie a operatiilor, prin atribuirea fiecarei operatii a unei prioritati. Fara astfel de reguli expresia 5 × 4 + 3 × 2 ar putea avea mai multe semnificatii:

  • 5 × 4 + 3 × 2 = (5 × 4) + (3 × 2) = 26

  • sau 5 × 4 + 3 × 2 = 5 × (4 + 3) × 2 = 70

  • sau 5 × 4 + 3 × 2 = (5 × 4 + 3) × 2 = 46

  • sau 5 × 4 + 3 × 2 = 5 × (4 + 3 × 2) = 50

Evaluata dupa regulile din algebra, conform carora intai se efectueaza inmultirile si apoi adunarile expresia 5 × 4 + 3 × 2 are valoarea 26.

Daca se tasteaza pe un calculator de uz general secventa 5 [×] 4 [+] 3 [×] 2 [=] pe display este afisat rezultatul 46. Tastand aceeasi secventa pe un CASIO fx-82SX rezultatul afisat este 26. Rezultatele diferite se explica prin ordinea diferita in care au fost executate operatiile de catre cele doua calculatoare.

Operatiile efectuate cu ajutorul calculatorului de uz general evalueaza de fapt expresia algebrica (5 × 4 + 3) × 2 = 46 iar cele cu EL-501 expresia algebrica (5 × 4) + (3 × 2) = 26

La calculatorul de uz general ordinea de efectuare a operatiilor din secventa 1 [+] 2 [×] 3 [=] nu este algebrica:

business_123 (2K)

CASIO fx-82SX este un calculator algebric. Aceasta inseamna ca operatiile aritmetice se executa dupa aceleasi reguli care se aplica si in algebra la evaluarea expresiilor. In acest caz calculul aceleiasi secvente 1 [+] 2 [×] 3 [=] de catre El-501 se face aplicand regulile algebrice. Intai se executa operatiile aditive (+ si -) si apoi cele multiplicative (× si ÷):

srel501_123 (1K)

Deoarece prioritatea operatiei de inmultire × este mai mare decat a celei de adunare + executia acesteia din urma a fost amanata desi a fost introdusa anterior inmultirii. Ea este executata abia dupa ce se efectueaza inmultirea.

Prioritatea calculelor este determinata automat de catre calculator dupa cum urmeaza:

  1. Functii cu o variabila cum ar fi sin, ln, x² %, √, etc.
  2. Calculele in paranteze ()
  3. Functii cu doua operatii xy, x1/y, R→P, P→R, nPr, nCr
  4. ×, ÷
  5. +, −
  6. =, M+ si alte operatii de finalizare a calculelor.

Exemplu:

op_priority2 (16K)

EnterPress    Display    
[AC] 0.
1[+]1.
4[×] 4.
3[xy] 3
1.5[x²]= 48.37866447

In acest exemplu operatia x² se efectueaza inaintea operatiei xy care are o prioritate mai mica.

Astfel secventa corespunde expresiei algebrice

1 + 4 × 3 1.5² = 48.37866447

si nu expresiei algebrice

1 + 4 × (31.5)²= 109

Trebuie observat ca datorita aplicarii regulilor algebrice de prioretizare a operatiilor, desi introdusa penultima, operatia x² este prima care se executa, imediat dupa ce a fost tastata, executia celorlalte operatii de prioritate mai mica fiind amanata.

Apasarea operatiei [=] determina finalizarea calculelor prin executia operatiei curente si apoi, in ordinea prioritatii, a tuturor operatiilor amanate.

La calculul expresiilor trebuie tinut cont de faptul ca la calculatorul CASIO fx-82SX numarul maxim de operatii ce pot fi amanate este 5. Daca se depaseste acest numar (lucru posibil daca la calcul se folosesc si paranteze) calculatorul genereaza eroare.

La calculul expresiilor trebuie tinut cont si de urmatoarele reguli si limitari:

  • Operatiile cu acelasi nivel de prioritate se executa in secventa, pe masura ce sunt introduse:

    Exemplu: 1 + 2 − 3 + 4 = 4

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1[+]1.
    2[−] 3.
    3[+] 0
    4[=]4.

    Exemplu: 1 ÷ 2 × 3 ÷ 4 = 0.375

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1[÷]1.
    2[×] 0.5
    3[÷] 1.5
    4[=]0.375

    In aceste doua exemple, toate operatiile (cu exceptia operatiei [=] de finalizare a calculelor) avand prioritati egale, s-au executat succesiv, pe masura ce au fost introduse, nefiind nici una a carei executie sa fie amanata.

  • Daca sunt folosite parantezele () calculele cuprinse intre paranteze au prioritate fata de orice alte calcule. Intai se efectueaza operatiile din parantezele cele mai interioare.

    In timpul calculelor efective, calculele cu prioritate scazuta sau cele din parantezele exterioare sunt stocate in memorie, executia lor fiind amanata pana cand nu se executa calculele de prioritate mai mare sau finalizate calculele din parantezele interioare prin tastarea parantezei de inchidere [)]. Odata finalizate calculele pe nivelul curent, calculele de pe nivelurile a caror executie a fost amanata sunt readuse din memorie si procesate la randul lor.

    Pentru stocarea operatiilor amanate CASIO fx-82SX are prevazuta o stiva de 6 registri L1, L2, ...L6. Astfel la un moment dat pot exista 5 operatii amanate si operatia curenta in curs de executie.

    In acest mod calculele sunt structurate pe niveluri, fiecare nivel putand avea pana la 3 paranteze deschise. In consecinta pot exista la un moment dat pana la 3 × 6 = 18 paranteze deschise.

    fx82_6niveluri (8K)

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1[+]1.
    2[×] [(][01 0.
    30[sin] [+]0.5
    6[×] [(][02 0.
    2[+] 2.
    6[÷] 6.
    2[)] 5.
    [)] 30.5.
    2[=] 62.
  • Numarul de ordine al parantezei deschise este afisat in stanga display-ului de fiecare data cand se apasa tasta [(]. Registrii de lucru Y si X sunt salvati in stiva de registri de operatii amanate de la executie si anulati, pe display fiind afisata alaturi de numarul de ordine al parantezei, vaoarea 0 continuta de registrul acumulator X.

    Astfel de exemplu la deschiderea celei de a sasea paranteze pe display va fi afisat la apasarea tastei [(]:

    C06 (1K)

    Daca se incearca deschiderea celei de a 19-a paranteze, calculatorul va semnala eroarea afisand simbolul:

    error (1K)

  • Incercarea de a evalua expresia 1 + 2 × ( sin(30°) + 6 × ( 2 + 6 ÷ (5 − 3 ))) = 62. introducand secventa

    1 [+] 2 [×] [(] [ 30 [sin] [+] 6 [×] [(] 2 [+] 6 [÷] [(] 5 [−] 3 [)] [)] [)] [=]

    se va solda cu eroare deoarece procesarea ei presupune amanarea executiei a 6 operatii - 7 niveluri de calcule - iar CASIO fx-82SX nu are capacitatea de a stoca decat 6 niveluri de calcule :

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1[+]1.
    2[×] [(][01 0.
    30[sin] [+]0.5
    6[×] [(][02 0.
    2[+] 2.
    6[÷][(] -[-

    Exemplu: Urmatoarea expresie foloseste 4 niveluri de calcul si cinci paranteze incuibate:
    2 [×] [(] [(] [(] 3 [+] 4 [×] [(] [(] 5 [+] 4
    In tabelul urmator este aratat continutul stivei de registri ai operatiilor: la introducerea acestei expresii

    Registru    Calcul    
    x 4
    L1 (( 5 +
    L2 4 ×
    L3((( 3 +
    L42 ×
    L5
    L6

UTILIZAREA MEMORIEI

  • Registrii de lucru X si Y

    Pentru introducerea datelor si efectuarea calculelor CASIO fx-82SX este prevazut cu doi registri de lucru X si Y.

    Datele sunt introduse in registrul X al carui continut este in permanenta afisat pe display.

    Operatiile cu un singur operand cum ar fi functiile (x²] [√], [³√], [ex],etc., se executa asupra operandului memorat in registrul X. Rezultatul este stocat tot in X motiv pentru care acest registru se mai numeste si acumulator.

    Pentru efectuarea operatiilor cu doi operanzi, cum ar fi toate operatiile aritmetice, functiile [xy], si [x1/y], etc. este prevazut un al doilea registru de lucru Y. Dupa introducerea primului operand in registrul X si apasarea tastei operatiei, primul operand introdus este transferat in Y facand loc introducerii in X al celui de al doilea operand. Astfel de exemplu in urma tastarii secventei [2][xx][3] Y contine numarul 2 iar X numarul 3. Operatia [xy] este finalizata prin apasarea de exemplu a tastei [=]. Rezultatul (YX = 2³ = 8) este stocat in registrul X (suprascriind vechea valoare 3). Continutul registrului Y este anulat.

  • Interschimbarea continutului registrilor X si Y

    Prin apasarea tastelor [SHIFT] [x↔y] se interschimba continutul registrilor X si Y.

  • Memorarea unui numar in memoria independenta M

    CASIO fx-82SX are prevazut un registru de memorie independenta M. La apasarea tastei [Min] (Memory input)se memoreaza numarului afisat pe display (aflat in registrul de lucru acumulator X) in registrul de memorie independenta M suprascriind vechiul continut al acestuia. Daca M contine o data nenula pe randul de sus al display-ului este afisat simbolul M indicand ca memoria nu este anulata (contine un numar diferit de zero).

    Atat timp cat continutul registrului de memorie independenta M este nenul, simbolul M ramane afisat pe display.
  • Sumarea in memoria independenta M

    Apasarea tastei [M+] determina finalizarea operatiilor de calcul in curs si a celor amanate de la executie, fiind echivalenta din acest punct de vedere cu apasarea tastei [=]) iar rezultatul obtinut (in registrul acumulator X afisat pe display ) il aduna la valoarea memorata in registrul de memorie independenta M. Ca urmare M va contine suma dintre valoarea continuta anterior si valoarea din registrul X afisata pe display.

  • Rechemarea datei stocate in memoria independenta M

    La apasarea tastei [MR] (Memory Recall)numarul memorat in registrul M este copiat in registrul X fiind si afisat pe display.

  • Interschimbarea continutului registrilor X si M

    Apasarea tastei [x↔M] determina interschimbarea continutului registrilor X si M.

  • Anularea (stergerea) continutului memoriei independente M

    Anularea (stergerea) memoriei independente M se face prin simpla memorare a numarului 0 in acesta introducand de exemplu secventa [AC][Min]. Cat timp M este anulat (contine numarul 0) simbolul M nu este afisat in partea stanga a ecranului.

ANULAREA REGISTRILOR DE LUCRU

Pe langa operatiile [→] si [CE] care permit corectia erorilor la introducerea unui operand, CASIO fx-82SX mai prevede tasta [AC]( All Clear) care daca calculatorul este oprit, il porneste (ON) ir daca este pornit anuleaza cei doi registrii de lucru (asa numitul registrul acumulator X care pastreaza operanzi sau rezultate si al carui continut este afisat pe display, si registrul Y necesar in cazul operatiilor cu doi operanzi cum ar fi yx sau x√y sau calculele cu constante, procente, etc.) cat si registrii stivei de operatii L1...L6 in care sunt pastrate calculele de pe nivelurile de prioritate scazuta a caror executie a fost amanata.

(In modul statistic SD([MODE][.]) apasarea tastei [SAC] (Statistics All Clear) - cea de a doua functie asociata cu butonul AC - va anula registrii de lucru X Y si memoria statistica in care sunt pastrate datele statistice.)

Astfel, dupa apasarea tastei [AC] calculatorul are toti registrii de lucru initializati, fiind pregatit pentru introducerea unei noi expresii.

Daca la introducerea unei expresii se constata ca un operand sau o operatie a fost introdusa gresit, pentru corectie, intreaga secventa trebuie anulata apasand tasta [AC] si expresia reintrodusa din nou, de data aceasta cu datele corecte.

Daca secventa anterioara de calcule a fost introdusa doar partial si nu a fost finalizata (prin apasarea de exemplu a tastei[=]) este posibil sa existe memorate operatii a caror executie sa fi fost amanata pana la indeplinirea anumitor conditii.

Se poate intampla ca operatiile din noua secventa de calcul sa fie interpretate de calculator ca fiind continuarea secventei anterioare (nefinalizate) si la un moment dat sa fie create conditii pentru executia operatiilor amanate din secventa de calcul precedenta. Aceste operatii nu au nici o legatura cu noua secventa de calcul si executia lor va afecta corectitudinea calculelor obtinandu-se la final pe display un rezultat eronat.

De exemplu am de calculat expresia 1 + 2 × 3. Incep sa o introduc in calculator: Tastez 1 + 2 × 4 ... oops! am gresit, deci apas tasta [CE] (Clear Entry) care sterge ultimul operand introdus si pe display apare afisat 0.

In acest momenet intrerup lucrul sa-mi iau un suc din frigider.

Reintors la birou si uitand unde ramasesem cu introducerea secventei si vazand 0. afisat pe display o iau de la capat si reintroduc repede expresia 1 + 2 × 3 [=] si obtinand rezultatul 9 in loc de 6!

De fapt, chiar daca la momentul reintroducerii secventei de calcul pe display era afisat 0., secventa completa introdusa in calculator a fost 1 + 2 × 1 + 2 × 3 [=] unele operatii fiind duplicate pentru ca nu au fost anulate operatiile din prima secventa (subliniate in text) acestea fiind memorate ca amanate de la executie.

Pentru a obtine rezultatul corect, inainte de a incepe reintroducerea expresiei trebuia apasata tasta [AC] pentru initializarea registrilor de lucru.

Pentru evitarea unor astfel de situatii, de fiecare data cand se incepe o noua secventa de calcul, pentru siguranta, este bine ca aceasta sa inceapa cu operatia de anulare [AC].

Continutul registrul de memorie independenta M nu este afectat de operatia de anulare [AC].

CORECTIA OPERATIILOR

Daca o operatie s-a tastat gresit si nu este vorba de o functie cu o singura variabila care se executa imediat ce tasta a fost apasata, paranteze sau operatii care finalizeaza calculele ([=],[M+]),corectia poate fi facuta pur si simplu tastand din nou operatia corecta.

Exemplu: 3 + ³√8 = [3] [+] [8] [xy] [x1/y] [3] [=]

EnterPress    Display    Comments
[AC] 0.Anulare
3[+]3.
8[xy] [x1/y] 8.Corectie
3[=]5.Finalizare calcule

Daca insa operatia gresita este o functie cu o singura variabila care se executa imediat ce tasta asociata ei a fost apasata, o paranteza ([(],[)]) sau o operatie care finalizeaza calculele ([=],[M+]) sau daca dupa operatia gresita s-a inceput introducerea unui operand, corectia nu mai este posibila.

Trebuie anulat totul apsand tasta [AC] si reintrodusa intreaga secventa de la inceput.

CALCULE CU PARANTEZE

Exista secvente de operatii pentru care trebuie sa indicati calculatorului ordinea precisa in care sa execute operatiile pentru a evalua corect problema si a produce rezultatul corect. De exemplu:

4 × ( 5 + 9 ) ÷ ( 7 − 4 )(2+3) = ?

Pentru a calcula aceasta expresie bazandu-ne doar pe ierarhizarea algebrica a operatiilor ar fi necesara parcurgerea multor pasi de calcul independenti. De asemenea trebuiesc retinute (notate separat, pe hartie) rezultatele intermediare obtinute in acesti pasi. In plus ordinea secventelor de calcul nu ar corespunde cu ordinea in care apar in expresie.

Avantajul folosirii parantezelor consta in posibilitatea de a obtine rezultate intermediare fara a finaliza toate calculele. Tastand secventa [(] 5 [+] 9 [)] se constata ca apasarea tastei [)] a determinat clculatorul sa evalueze expresia 5 + 9. Pe display apare afisat rezultatul 14 chiar daca tasta [=] de finalizarea calculelor nu a fost apasata.

Parantezele permit evaluarea separata a fiecarei 'sub expresii' dintre cele mai apropiate doua paranteze [(] si [)] si inlocuirea ei cu rezultatul intermediar obtinut.

Utilizand parantezele operatiile pot fi introduse in calculator exact asa cum apar scrise in expresia algebrica ce trebuie calculata.

Calculatorul tine minte fiecare operatie si evalueaza partea corespunzatoare a expresiei imediat ce informatia necesara evaluarii devine disponibila. Cand o paranteza [)] este introdusa intreaga secventa de operatii intre aceasta paranteza si cea mai apropiata paranteza deschisa [(] introdusa anterior este evaluata.

Exemplu: 4 × ( 5 + 9 ) ÷ ( 7 − 4 )(2 + 3) = ?

EnterPress    Display    
[AC] 0.
4[×] 4.
[(] [01      0.
5 [+] 5.
9[)] [÷] 14.
[(] [01      0.
7 [−] 7.
4 [)] [xy] 3.
[(] [01      0.
2 [+] 2.
3 [)] 5.
[=] 0.230452674

Cand se deschide o prima paranteza [01 este afisat in partea din stanga a display-ului indicand numarul de ordine al parantezei deschise.

Ori de cate ori se deschide o parateza, pe langa numarul de ordine [NN, pe display este afisat 0. (registrii de lucru ai calculatorului sunt salvati in stiva de operatii in unul din registrii L1-L6)si initializati fiind astfel pregatiti pentru introducerea unei noi sub-expresii). La inchiderea parantezei, se finalizeaza calculul sub-expresiei introduse, restaurati din stiva registrii salvati anterior la deschiderea parantezei si rezultatul evaluarii inscris in registrul X, fiind afisat pe display in modul de afisare curent (NORM, FIX sau SCI).

In secventa prezentata in exemplu inchiderea ultimei paranteze nu este obligatorie, putand fi introdusa direct operatia de finalizare a calculelor [=]:
EnterPress    Display    
[AC] 0.
4[×][(] [01      0.
5 [+] 5.
9[)] [÷][(] [01      0.
7 [−] 7.
4 [)] [xy] [(] [01      0.
2 [+][=] 0.230452674

Numarul maxim de paranteze deschise este de 18(trei pe nivel). Numarul maxim de operatii a caror executie este amanata e 5. In exemplul urmator existand la un moment dat trei operatii amanate si una in curs de executie:

Exemplu: 5 + ( 8 ÷ ( 9 − ( 2 ÷ 3 + 3-1 ) ) ) = 6

EnterPress    Display    
[AC] 0.
5[+] 5.
[(] [01      0.
8 [÷] 8.
[(] [02      0.
9 [−] 9.
[(] [03      0.
2 [÷] 2.
3[+] 0.666666666
3[SHIFT][1/x] 0.333333333
[)] 1.
[)] 8.
[)] 1.
[=] 6.

De cate ori este inchisa o paranteza [)], sub-expresia cuprinsa intre ea si cea mai apropiata paranteza deschisa [(] este evaluata si rezultatul afisat.

Daca nu vrem sa vedem rezultatele intermediare, nici in acest caz nu este obligatoriu sa se apese de trei ori tasta [)] pentru a inchide pe rand parantezele, putand fi apasata direct tasta [=] care va inchide parantezele si va finaliza toate calculele:

EnterPress    Display    
[AC] 0.
5[+] [(] [01      0.
8 [÷] [(] [02      0.
9 [−] [(] [03      0.
2 [÷] 2.
3[+] 0.666666666
3[SHIFT][1/x] 0.333333333
3 [=] 5.96

Pentru afisarea rezultatelor intermediare se pot prevedea paranteze chiar daca din punct de vedere algebric ele nu sunt necesare. Fie de exemplu expresia

expara (4K)

Ea nu poate fi calculata fara a folosi paranteze. Iata expresia cu parantezele necesare:

expara1 (4K)
EnterPress    Display    
[AC] 0.
3[×] 3.
4 [SHIFT][xy] [(] [01      0.
2 [SHIFT][xy] [(] [02      0.
7 [SHIFT] [x1/y] 7.
4 [)] [+/-]-1.626576562
[)] 0.323855789
[=] 4.700043401

Pentru a afisa toate rezultatele intermediare, inclusiv cat este expara2 (1K), atunci mai trebuie adaugat un rand de paranteze desi din punct de vedere al prioritizarii operatiilor ele nu sunt necesare:

expara3 (4K)

EnterPress    Display     Comment
[AC] 0.
3[×][(] [01      0.
4 [SHIFT][xy] [(] [02      0.
2 [SHIFT][xy] [(] [03      0.
7 [SHIFT] [x1/y] 7.
4 [)] [+/-]-1.626576562-4√7
[)] 0.3238557892-1.626576562
[)] 1.56668113440.323855789
[=] 4.7000434013×1.566681134

CALCULE CU FRACTII

CASIO fx-82SX permite introducerea datelor sub forma de fractii ordinare (d/c) si cu numere mixte (ab/c) si calcule cu astfel de date.

Pentru a aduna doua fractii 1/12 + 4/63 ele trebuiesc aduse intai la acelasi numitor:

12 = 22×3, 63 = 32×7 &rArr
c.m.m.c = 22×32×7 = 4 × 9 × 7 = 252
1/12 + 4/63 = (3 ×7 + 42)/252 = (21 +16)/252 = 37/252.

Putem insa sa ne folosim de calculator. O fractie se introduce sub forma unui numar mixt ab/c unde a este numarul intregilor si b/c partea fractionara.

Numerele a, b si c se introduc astfel:
- se tasteaza numarul a si se apasa tasta [ab/c]. Pe display apare afiasat numarul a si simbolul ⌋.
- se tasteaza numaratorul b si se apasa tasta [ab/c]. Pe display apare afiasat numarul a si b: a ⌋ b ⌋.
- se tasteaza numitorul c. Pe display apare afiasat tot numarul mixt ab/c: a ⌋ b ⌋ c

Daca a este 0 atunci el poate sa fie omis introducand numai numaratorul si numitorul b/c pe display fiind afisat: b ⌋ c.

Fractiile introduse astfel pot fi adunate, scazute, inmultite si impartite rezultatul fiind afisat tot sub forma de fractie. Conversia la fractie zecimala se face apasand tasta [ab/c] iar conversia inversa de la fractie zecimala la numar mixt/fractie apasand [SHIFT] [d/c].

Astfel pentru a calcula 1/12 + 4/63 se introduce secventa:

EnterPress    Display    
[AC] 0.
1[ab/c] 1⌋.
12 [+] 1⌋12.
4 [ab/c] 4⌋.
63 4⌋63.
[=] 37⌋252.
[ab/c] 0.146825396
[SHIFT][d/c] 37⌋252.

Exemplu: 81/9 + 63/72

EnterPress    Display    
[AC] 0.
8[ab/c] 8⌋.
1 [ab/c] 8⌋1⌋.
9 [+] 8⌋1⌋9.
63 [ab/c]63⌋.
72 63⌋72.
[=] 8⌋71⌋72.
[SHIFT][d/c]647⌋72.
[ab/c] 8.986111111
[SHIFT][d/c] 647⌋72.
[SHIFT][d/c]8⌋71⌋72.
[ab/c]8.986111111

Exemplu: 253/2 (radacina patrata a lui 25 ridicata la cub 53)

EnterPress    Display    
[AC] 0.
25[SHIFT][xy] 25.
3[ab/c] 3⌋.
2 3⌋2.
[=] 125.

CALCULE CU PROCENTE

  • Apasarea tastei [SHIFT][%] converteste numarul introdus din procente in numar zecimal.

    Exemplu: 43.9% = .439

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    43.9 [SHIFT] [%] 0.439
  • Pentru a calcula cat reprezinta p% dintr-un numar N se tasteaza :

    N [×] p [SHIFT] [%]

    Exemplu: Cat este 12% din 1500 ?
    R:180.

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1500 [×] 1500.
    12 [SHIFT] [%] 180.
  • Pentru a calcula ce procent reprezinta numarul M din N se tasteaza:

    M [÷] N [SHIFT][%]

    Exemplu: Ce procent reprezinta 660 din 880?
    R:75%

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    660 [÷] 660.
    880 [SHIFT] [%] 75.

    Exemplu: Care este valoarea in lei a TVA = 19% pentru un produs al carui pret de desfacere este de 15.75 Lei?
    Cu alte cuvinte cat reprezinta 19% din 15.75 Lei ?
    R: 2.85 Lei

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    15.75 [×] 15.75Pret desfacere
    19 [SHIFT] [%] 0.19TVA 19%
    [=] 2.85TVA in Lei
  • Pentru a calcula un adaos p% la un numar N (X = X + X⋅p%)se tasteaza:

    N [×] p [SHIFT][%][+]

    Exemplu: Daca pretul unui produs este 2500 care este pretul lui de vanzare daca i se adauga TVA 18%? ?
    R:2950 din care TVA 19% 475.

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    2500 [×] 2500.
    10 [SHIFT] [%] 475.
    [+] 2975.

    Exemplu: Care este pretul de desfacere al unui produs daca pretul la furnizor este de 15 Lei iar adaosul comercial de 5%?
    R: 15.75 Lei

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    15 [×] 15.00Pret furnizor
    5 [SHIFT] [%] 0.75Adaosul comercial de 5%
    [+] 15.75Pret desfacere
  • Pentru a calcula pretul unui produs dupa aplicarea unei reduceri (discount) de p% la pretul initial P se tasteaza:

    P [×] p [SHIFT][%][-]

    Exemplu: Daca pretul unui produs este 3500 care este pretul lui de vanzare daca i se aplica un discount de 25%?
    R:2625 (discount 25% = 875).

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    3500 [×] 3500.
    25 [SHIFT] [%] 875.
    [-] 2625.

    Exemplu: Calculati valoarea discount-ului de 20% si valoarea rezultata din aplicarea acestuia sumei 168, 98 si 734.
    R:800 (discount 20% = 200).

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    168 [+] 168.
    98 [+] 266.
    734 [=] [×] 1000.
    20 [SHIFT] [%] 200.
    [-] 800.

    Exemplu: Care este pretul de cumparare al unui produs avand pretul de 15 Lei daca la vanzare se beneficiaza de o reducere de 5%?
    R: 14.25 Lei

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    15 [×] 15.00Pret vanzare
    5 [SHIFT] [%] 0.75Reducerea de 5%
    [−] 14.25Pret cumparare
  • Daca se cunoaste ca numarul N reprezinta p% din X, pentru a afla numarul X se tasteaza:

    N [÷] p [SHIFT] [%]

    Exemplu: 25 reprezinta 15% din cat?
    R: 166.6666667

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    25 [÷] 25.00
    15 [SHIFT] [%] 166.6666667
  • Calculul raportului procentual

    Raportul procentual a, b, c a fiecarei componente A, B, C intr-o expresie de forma A + B + C = D,exprimate in procente din D reprezinta cota acestora in totalul D. a + b + c = 100%

    Exemplu: Se ameteca trei lichide avand urmatoarele volume; 25 + 85 + 90 = 200 (100%)
    Calculati raportul procentual al fiecarei componente in amestec.
    R: a = 12.5%, b= 42.5%, c= 45%

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    25 [Min] 25.
    85 [M+] 85.
    90 [M+] 90.
    25 [÷] [MR] 200
    [SHIFT] [%] 12.5
    85 [÷] [MR] 200
    [SHIFT] [%] 42.5
    90 [÷] [MR] 200
    [SHIFT] [%] 45.
  • Calculul Profitului Brut (engl. Gross Profit Margin) si Adaosului Comercial (engl. Markup)

    markupmargin (17K)

    Profitul brut este dat de diferenta dintre incasari din vanzari si costuri (cheltuieli cu aprovizionarea si desfacerea):

    P = V - C

    Profitul brut exprimat in procente se calculeaza raportat la venitul brut obtinut:

    p(%) = 100 × (V - C)/V

    din aceasta formula deriva si formulele:

    C = V - [p(%) × V]/100

    V = C/[1- p(%)/100]

    Exemplu:Pretul la furnizor al unui televizor este 490 Lei iar pretul de vanzare este de 750 Lei. Care este profitul brut obtinut de comerciant?
    R: Δ(%) = 100 × (750 - 490)/750 = 34.67%

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    100 [×] ( [01      100.00rezultat in procente
    750 [Min] [−] 750.00Pret
    490 [)] [÷] [MR] [=] 34.67Profit(%)

    Profitul brut nu trebuie confundat cu adaosul comercial care (care este exprimat in procente raportat la cost nu la pret). In cazul exemplului de mai sus adaosul comercial practicat de comerciant este:

    δ(%)= 100 × (750-490)/490 = 53.06%

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    100 [×] ( [01      100.00rezultat in procente
    750 [−] 750.00Pret
    490 [Min] [)] [÷][MR] [=] 53.06Adaos(%)

    Exemplu: Comerciantul din exemplul anterior, vrand sa vanda mai multe televizoare, se hotaraste sa reduca pretul. Care este pretul minim al unui televizor daca comerciantul nu isi permite o rata de profit mai mica de 28%?
    R: Pret = 490/(100 - 28)% = 680.56 Lei

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    490 [÷] [(] [01      490.00Cost
    100 [−] 1.00
    28 [)][%] 680.56 Pret

    Exemplu: Pornind de la acest pret minim, comerciantul nostru se hotaraste sa vanda televizoarele la pretul de 699.99 Lei. Care este profitul si adaosul comercial in acest caz?
    R: Δ(%) = 100 × (699.99 - 490)/699.99 = 30.00%

    δ(%)= 100 × (699.99-490)/490 = 42.86%

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    100 [×] [(] [01      100.00rezultat in procente
    699.99 [Min] [−] 699.99Pret
    490 [)] [÷] [MR] [=] 30.00Profit(%)
    100 [×] [(] [MR] [−] [01      699.99Pret
    490 [MR] [)] [÷] [MR] [=] 42.86Adaos%

    CASIO fx-82SX ofera si o operatie de calcul direct al cresterii procentuale.

    δ = 100 × (Δ + N)/N [%]

    astfel daca se cunoaste ca se adauga M la numarul initial N cresterea procentuala se obtine tastand:

    M [+] N [SHIFT][%]

    Exemplu: care este cresterea procentuala daca la cantitatea initiala de 500g se adauga inca 300g ?
    R: 160.%

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    300 [+] 300.00cantitatea adaugata
    500 [SHIFT] [%] 160.00Cresterea procentuala (100×800/500 [%])

    CASIO fx-82SX ofera o operatie de calcul direct al variatiei procentuale.

    δ = 100 × (Nf - N0)/N0 [%]

    Astfel daca se cunoaste valoarea initiala N0 si cea finala Nf variatiei procentuala se obtine tastand:

    Nf [-] N0 [SHIFT][%]

    Exemplu: care este variatia procentuala daca o marime se modifica de la 40 la 46?
    R: 15.%

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    46 [-] 300.00valoarea finala
    40 [SHIFT] [%] 15.00modificarea procentuala (100×6/40 [%])

    Aceste doua operatii ne permit sa rezolvam problema calculului adaosului comercial si profitului (markupp si margin) ca cea prezentata anterior:

    Exemplu: Pornind de la acest pret minim, comerciantul nostru se hotaraste sa vanda televizoarele (aprovizionate cu 490 Lei)la pretul de 699.99 Lei. Care este profitul si adaosul comercial in acest caz?
    R: Δ(%) = 100 × (699.99 - 490)/699.99 = 30.00%

    δ(%)= 100 × (699.99-490)/490 = 42.86%

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][7][2] 0.00Afisare cu doua zecimale
    490 [+/-] [+] [−]490Pret aprovizionare
    699.99[Min] [SHIFT] [%] 30.00 Profit Δ = 100 × (-490 + 699.99 )/699.99 [%]
    [MR] [−] 699.99Pret desfacere
    490 [SHIFT] [%] 42.86 Adaos δ = 100 × (699.99 - 490)/490 [%]
  • ATENTIE! Operatiile cu procente finalizeaza calculele amanate de la executie la fel ca operatia [=] sau [M+]

CALCULE CU CONSTANTE

Daca avem de calculat suma, diferenta, produsul, sau catul unei liste de valori cu o aceiasi constanta sau puteri si radacini ale valorilor respective, calculele pot fi simplificate, nefiind necesara introducerea constantei la fiecare calcul ci doar la calculul primei valori.

Pentru oricare din aceste operatii pentru a initializa constanta si operatia se tasteaza:

K [⊗] [⊗] N0 [=]

unde K este constanta, [⊗] tasta operatiei respective ([+],[×],etc.), apasata de doua ori consecutiv iar N0 operandul. Dupa aceasta prima operatie pe randul de sus al display-ului apare afisat simbolul K. Acesta ramane afisat pana cand se executa alta operatie decat cea definita ( K [⊗]).

Dupa ce operatia cu constanta K a fost definita asa cum s-a aratat mai sus, restul operatiilor similare nu mai necesita introducerea constantei si operatiei ci numai a operandului si operatiei de finalizare ([=]): N1 [=], N2[=],...Nn [=] ceea ce echivaleaza cu K [⊗] N1 [=], K [⊗] N2[=],...K [⊗] Nn [=].

De exemplu avem de completat urmatorul tabel:

X X + 1.73 X - 2.25 X × 3.14 X ÷ 1.41 X2.72 4√X 150 × X%
3.25 4.98 1.00 10.99 2.30 24.68 1.34 4.88
5.61 7.34 3.36 17.62 3.98 108.94 1.54 150 × X%
8.33 10.06 6.08 26.16 5.91 319.27 1.70 8.42
9.52 11.25 7.27 29.89 6.75 459.08 1.76 14.28

Pentru a efectua calculele repetitive de mai sus se tasteaza secventa:

EnterPress    Display    
[AC] [MODE] [7]0.
2 0.00
X + 1.73
1.73 [+] [+] K FIX1.73
3.25 [=] K FIX4.98
5.61 [=] K FIX7.34
8.33 [=] K FIX10.06
9.52 [=] K FIX11.25
X - 2.25
2.25 [−] [−] K FIX2.25
3.25 [=] K FIX1.00
5.61 [=] K FIX3.36
8.33 [=] K FIX6.08
9.52 [=] 7.27
X × 3.14
3.14 [×] [×] K FIX3.14
3.25 [=] K FIX10.99
5.61 [=] K FIX17.62
8.33 [=] K FIX26.16
9.52 [=] K FIX29.89
X ÷ 1.41
1.41 [÷] [÷] K FIX1.41
3.25 [=] K FIX2.30
5.61 [=] K FIX3.98
8.33 [=] K FIX5.91
9.52 [=] K FIX6.75
X2.72
2.72 [SHIFT] [xy] [SHIFT] [xy] K FIX2.72
3.25 [=] K FIX24.68
5.61 [=] K FIX108.94
8.33 [=] K FIX319.27
9.52 [=] K FIX459.08
4√X
4 [SHIFT] [x1/y] [SHIFT] [x1/y] K FIX4.
3.25 [=] K FIX1.34
5.61 [=] K FIX1.54
8.33 [=] K FIX1.70
9.52 [=] K FIX1.76
150 × X%
150 [×] [×] K FIX150.00
3.25 [SHIFT] [%] K FIX4.88
5.61 [SHIFT] [%] K FIX8.42
8.33 [SHIFT] [%] K FIX12.50
9.52 [SHIFT] [%] K FIX14.28

FUNCTII STIINTIFICE

RADACINI SI PUTERI

  • Functia de ridicare la patrat [x²] calculeaza patratul numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: (4.235)² = 17.935225

    EnterPress    Display    
    4.235 [SHIFT][x²] 17.935225
  • Functia radical [√] calculeaza radacina patrata a numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: √6.25 = 2.5

    EnterPress    Display    
    6.25 [√] 2.5

    Exemplu: [√3.1452 − 7 + (3.2)²]½ = 2.2390782

    EnterPress    Display    
    [AC] [(]0.
    3.1452 [√] [−] 1.773471173
    7 [+] -5.226528827
    3.2 [SHIFT][x²] 10.24
    [)]5.013471173
    [√]2.239078197
  • Functia de extragere a radacinii cubice [³√] se aplica numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: ³√27 = 3

    EnterPress    Display    
    27 [SHIFT] [³√] 3.
  • Pe langa functiile de mai sus CASIO fx-82SX ofera doua functii universale de calcul a puterilor si radacinilor, [SHIFT][xy] si inversa acesteia [SHIFT][x1/y](x√y).

    Spre deosebire de toate celalalte functii cum ar fi functiile [SHIFT][x²], [√], [SHIFT][³√] discutate mai sus, care au un singur argument si sunt calculate imediat, acestea doua necesita intoducerea a doua argumente, unul in registrul X si celalalt in Y, similar functiilor aritmetice ([+],[−][×] si [÷]).

    Introducerea ambelor functii este asemanatoare: Se introduce argumentul x, se tasteaza functia - [SHIFT][xy] sau [SHIFT] [x1/y] - dupa care se introduce puterea y.

    Exemplu: 2.86−.42 = .64317072

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    2.86 [SHIFT][xy] 2.86
    .42 [+/-][=] 0.643170721

    Exemplu: 3.12√1460 = 10.332744

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1460 [SHIFT] [x1/y] 1460
    3.12 [=] 10.33274375
  • Functia inversa (reciproca) [SHIFT][1/x] calculeaza functia y= x-1. Se aplica numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: (3.2)-1 = 0.3125

    EnterPress    Display    
    3.2 [SHIFT] [1/x] 0.3125

    Exemplu:
    exrecipr (2K)

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1 [+/-] [+] -1.
    7.4 [√][=] 1.720294102
    [SHIFT] [1/x] 0.581295953

LOGARITMI SI ANTILOGARITMI

  • Logaritmul Natural loge si Functia Exponentiala ex

    lngrf (5K)

    Graficul functiei loge(x). Functia tinde catre −∞ cand x → 0 si creste incet catre ∞ cand x → ∞. loge(1) = 0.

    Logaritmul natural sau hiperbolic este logaritmul in baza e unde e este o constanta aproximativ egala cu 2.71828 18284 59045 23536...(Numarul e este transcedental si deci irational). Numita ocazional numarul lui Euler sau constanta lui Napier(inventatorul logaritmului), alaturi de numerele 0, 1, π = 3.141529... si numarul imaginar i=√ -1, numarul e este una din constantele cele mai importante din matematica. Deoarece e1=e, loge(e)=1 iar deoarece e0= 1, loge(1) = 0;

    Uneori in locul notatiei loge(x) se foloseste notatia ln(x) pe care o sa o folosesc si eu in continuare.

    Utilizand EL-501, tastand [ln] se calculeaza logaritmul natural al numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: ln(1.2) = 0.182321556

    EnterPress    Display    
    1.2 [ln] 0.182321556

    expgrf (7K)

    Graficul functiei ex. Functia descreste foarte incet pentru valori negative ale lui x tinzand asimptotic catre 0 cand x tinde catre -∞ si creste rapid pentru valori pozitive ale acestuia. ex = 1 pentru x=0 si panta tangentei la graficul functiei este intotdeauna egala cu y (valoarea functiei in punctul de tangenta).

    Functia exponentiala este una din cele mai importante functii din matematica in special datorita proprietatilor derivatei sale:

    ddxex (1K)

    Definita pe multimea numerelor reale functia y = ex este pozitiv definita dupa cum se poate vedea si din graficul alaturat.

    Folosind functia ex se poate defini o forma mai generala a functiei exponentiale:

    ax = ( eln(a))x = ex⋅ln(a)

    Deoarece loge(ex) = x⋅loge(e)= x, respectiv eln x= x, functia exponentiala este inversa logaritmului natural fiind din acest motiv numita si antilogaritm natural.

    Introducand secventa de taste [SHIFT][ex] se executa calculul antilogaritmului natural al numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Observati ca in cazul ambelor exemple nu este necesara apasarea tastei [=] pentru finalizarea calculelor functia ex fiind executata si rezultatul afisat imediat ce tasta [ex] este apasata.

    In cazul celui de al doilea exemplu observand ca:

    e(7.5 + ln 1.4) = e7.5⋅eln 1.4

    si deoarece eln x = x, adica eln 1.4 = 1.4, putem simplifica calculele:

    e(7.5 + ln 1.4) = 1.4⋅e7.5 = 2531.25938.

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    1.4 [×] 1.4
    7.5 [SHIFT][ex] 1808.042414
    [=] 2531.25938

    Exemplu: e3.81=45.150439

    EnterPress    Display    
    3.81 [SHIFT] [ex] 45.15043887

    Exemplu: e(7.5+ln 1.4)=2531.2594

    EnterPress    Display    
    [AC] [(]0.
    7.5 [+] 7.5
    1.4 [ln] 0.336472236
    [)] 7.836472237
    [SHIFT][ex] 2531.25938
  • Logaritmul Comun log10 si Antilogaritmul Comun 10x

    lg10grf (25K)

    In matematica logaritmul in baza 10 log10(x). mai este numit si logaritm comun sau zecimal. Pana la aparitia calculatoarelor stiintifice in 1972 studentii, inginerii si oamenii de stiinta calculau logaritmilor zecimali utilizand tabelele de logaritmi, rigla de calcul logaritmica sau batranul calculator stiintific RPN HP-35 .

    logesr (27K)

    Folosind rigla de calcul logaritmica log(x) se calculeaza pozitionand cursorul pe valoarea lui x (1 ≤ x ≤10) pe scala D si citind log(x) sub cursor pe scara L. In figura de mai sus s-a selectat pe scala D valoarea lui e ≅ 2.72 si citind pe scala L valoarea log(2.72) = .434.

    Daca x > 10 se reprezinta in notatie stiintifica x = m⋅10n. Astfel log(x)=log(m⋅10n)= log(m) + log(10n) = log(m) + n. Se calculeaza cu ajutorul riglei logaritmul zecimal al mantisei si se aduna cu exponent. De exemplu:

    log(272) = log(2.72%sdot;102) =

    2 + log(2.72) = 2 + .434 = 2.434

    In particular:

    log(x) = ln(x)/ln(10) respectiv ln(x) = log(x)/log(e)

    In figura alaturata este prezentat modul de calcul al lui log(x) folosind rigla de calcul logaritmica si tabelele de logaritmi.

    Fiind folsit foarte des, uneori in loc de log10(x) inginerii utilizeaza notatia simplificata log(x).

    Pe de alta parte, matematicienii utilizeaza notatia simplificata log(x) pentru logaritmul natural loge(x).

    Deoarece calculatoarele stiintifice sunt proiectate mai curand de ingineri decat de matematicieni, este de inteles ca pe tastatura lor logaritmul natural este marcat cu ln si cel zecimal cu log. Nici CASIO fx-82SX nu se abate de la aceasta regula.

    Utilizand EL-501, tastand [log] se calculeaza logaritmul comun al numarului din registrul X afisat pe display. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: log(e) = 0.434294481

    EnterPress    Display    
    1 [SHIFT] [ex] [log] 0.434294481

    Exemplu: log(272) = 2.434568904

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.000
    272 [log] 2.434568904

    In tabelele de logaritmi erau date valorile logaritmilor pentru numere ale caror mantise aveau trei cifre semnificative. Logaritmul se gasea la intersectia randului corespunzator primelor doua cifre ale mantisei (cele mai semnificative) cu coloana corespunzatoare ultimei cifre (cea mai putin semnificative):

    logtble (16K)

    Folosind tabele de logaritmi se obtine o precizie ceva mai buna (4 zecimale exacte):

    log(272) = 2 + log(2.72) = 2 + 0.4346 = 2.4346

    Asa se calculau logaritmii pana in 1972 cand Hewlett Packard a lansat pe piata primul calculator stiintific de buzunar HP-35.

    Cu acest emulator al HP-35 tastand 272 [log] se obtine 2.434568904 iar secventa de calcul a expresiei log(303 + 101.36) = 2.5130959 este:

    EnterPress    Display    
    303 [ENTER] 303.
    1.36 [ENTER] 1.36
    10 [xy] 22.90867652
    [+] 325.9086765
    [log] 2.513095922

    Functia inversa a logaritmului comun log(x) este 10x numita si antilogaritm comun. Introducand secventa [SHIFT][log] se calculeaza antilogaritmul comun (10x) al numarului din registrul X afisat pe display.

    Avand un singur operand, functia este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: 10-7.12 = 7.5858⋅10-8

    EnterPress    Display    
    7.12 [+/-] [SHIFT] [10x] 7.5857757 -08

    Exemplu: log(303 + 101.36) = 2.5130959

    EnterPress    Display    
    [AC] [(] [01      0.
    303 [+] 303.
    1.36 [SHIFT] [10x] 22.90867653
    [)] 325.90867653
    [log] 2.513095923

FUNCTII TRIGONOMETRICE

  • Selectia unitatii de masura a unghiurilor

    CASIO fx-82SX are 3 moduri de lucru cu unghiuri: DEG(unghiuri reprezentate in grade sexagesimale), RAD (unghiuri reprezentate in radiani) si GRA (unghiuri reprezentate in grade centesimale)

    Gradul centesimal (1g)(gradul nou) reprezinta un unghi egal cu a 100-a parte din unghiul drept. Este impartit in 100c (minute centesimale) fiecare minut avand la randul sau 100cc (secunde centesimale).

    Avem deci:

    1g = 100c = 10000cc

    1dr = 100g = 10000c = 1000000cc

    Asa cum este indicat in tabelul de selectie a modurilor de lucru imprimat sub display, selectia modului de lucru DEG se face pasarea tastei [MODE][4], selectand ca unitate de masura a unghiurilor gradele sexagesimale. Apasand [MODE][5] se selecteaza modul de reprezentare a unghiurilor in radiani (RAD) si apasand [MODE][6] modul de reprezentare a unghiurilor in grade centesimale (GRA).

    Modul de lucru selectat nu se pierde la oprirea calculatorului.

    Modul de lucru este indicat prin afisarea pe randul de sus al display-ului al simbolului corespunzator - DEG, RAD sau GRA.

    DEGRADGRA (15K)

    Selectia unitatii de masura a unghiurilor este o operatie usor de facut dar si usor de omis. Neglijarea acestui pas in efectuarea de calcule implicand functii trigonometrice este cauza celor mai frecvente erori.

  • Sinus, Cosinus, Tangenta, Secanta, Cosecanta, Cotangenta
    si Functiile lor Inverse

    cerctrig (14K)

    Diagrama din dreapta arata in ce cadran al cercului trigonometric functiile listate sunt pozitive. Functiile nespecificate intr-un cadran anume au valori negative.

    La masurarea unghiurilor nu trebuie uitat ca fiecare unghi pozitiv, masurat in sens trigonometric (invers acelor de ceasornic0are si o valoare echivalent negativ (masurat in sens invers trigonometric). De exemplu −45° = 315°

    Cand sunt apasate tastele asociate functiilor trigonometrice ([sin], [cos], [tan]) calculatorul calculeaza functia corespunzatoare avand ca argument numarul din registrul acumulator X afisat pe display.

    Secanta, cosecanta si cotangenta se pot calcula introducand secventele:

    • sec(x) = [sin][SHIFT][1/x]
    • cosec(x) = [cos][SHIFT][1/x]
    • ctg(x) = [tan][SHIFT][1/x]

    trigfngrf (52K)

    Functiile trigonometrice inverse (arcsin, arccos si arctg) sunt activate apasand tasta [SHIFT] si una din tastele [sin-1], [cos-1] sau [tan-1], ele determinand gasirea celui mai mic unghi a carui functie este afisata pe display. Rezultatul este depus in registrul X si afisat.

    Functiile inverse ale secantei, cosecantei si cotangentei se pot calcula introducand secventele:

    • arcsec(x) = [SHIFT][1/x][SHIFT][sin-1]
    • arccosec(x) = [SHIFT][1/x][SHIFT][cos-1]
    • arcctg(x) = [SHIFT][1/x][SHIFT][tan-1]

    Functiile trigonometrice Sinus, Cosinus, Tangenta, sunt periodice, putand fi calculate pentru unghiuri mai mari decat un cerc complet (360°, 2π respectiv 400g).

    Exemplu: sin 30° = 0.5 = sin 390°

  • EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] DEG0.
    30 [sin] DEG0.5
    390 [sin] DEG0.5

    Exemplu: [ sin(0.3012⋅π) ]tg 16.2° = 1.0626654

    EnterPress    Display    
    [AC] [MODE][5] [(] RAD[01      0.
    .3012 [×] RAD0.3012
    [SHIFT][&pi] RAD3.141592654
    [)] RAD0.946247707
    [sin] RAD0.811227138
    [SHIFT][xy] RAD0.811227138
    16.2 [MODE] [4] [tan]DEG0.290526856
    [+/-] [=] 1.062665429

    trigcerc (69K)

    Cel mai mare unghi ce poate fi returnat de o functie trigonometrica inversa ( arcsin, arccos, arctg) este de 180° (π radiani sau 200g).

    Deoarece unele unghiuri diferite au aceeasi valoare a functiei in intervalul [0,π] (spre exemplu functia arcsin ia valoarea 0.5 atat pentru un unghi de 30° situat in primul cadran al cercului trigonometric cat si pentru un unghi de 150° situat in cadranul II) unghiurile intoarse de functiile trigonometrice inverse sunt restrictionate la urmatoarele cadrane:

    Functia 'arc' Cadran, unghi
    arcsin x (sin-1 x) I (0 .. 90°, π/2 sau 100g)
    arcsin −x (sin-1 −x) IV (0 .. −90°, −π/2 sau -100g)
    arccos x (cos-1 x) I (0 .. 90°, π/2 sau 100g)
    arccos −x (cos-1 −x) II (90 .. 180°, π sau 200g)
    arctg x (tg-1 x) I (0 .. 90°, π/2 sau 100g)
    arctg −x (tg-1 −x) IV (0 .. −90°, −π/2 sau -100g)

    Functia arcsin 0.5 va returna intotdeauna unghiul 30° desi sin 150° = 0.5 si sin 390° = 0.5.

    Exemplu: sin-1 0.712 = 45.397875° = 0.79234239 radiani

    EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] DEG0.
    .712 [SHIFT] [sin-1] DEG  45.39787468
    .712 [MODE] [5] [SHIFT] [sin-1] RAD  0.792342386

    Exemplu: √arctg(9.72) + 1/arcsin(.808) = 9.1905773

    EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] DEG0.
    9.72 [SHIFT] [tan-1] DEG  84.12603848
    [√] [+] 9.172024776
    .808 [SHIFT] [sin-1] DEG  53.90098374
    [SHIFT] [1/x]0.018552537
    [=] 9.190577313
  • Diagnosticarea calculatorului folosind functiile trigonometrice

    Functiile trigonometrice sunt transcendente si deci irationale. Calculul lor lor se face printr-un algoritm numeric iterativ obtinandu-se o valoare aproximativa a carei precizie depinde de algoritmul folosit.

    Precizia algoritmilor folositi poate fi evaluata calculand:

    arcsin( arccos( arctg( tg( cos( sin( 9° ))))))

    Teoretic rezultatul ar trebui sa fie 9° dar cel mai adesea el este mai mic sau mai mare decat unghiul initial ceea ce ne permite sa evaluam gradul de precizie al algoritmilor utilizati pentru calculul functiilor trigonometrice in functie de eroarea obtinuta.

    Algoritmii difera de la calculator la calculator. Modele diferite de calculatoare implementand insa acelasi algoritm, sau avand la baza acelasi controller vor da rezultate identice. De aceea numarul obtinut din calculul formulei de dignostic poate fi folosit pentru identificarea calculatorului. Detalii...

    Secventa de calcule a numarului de diagnostic este:

    EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] DEG0.
    9 [sin] [cos] [tan] [SHIFT] [tan-1] [SHIFT] [cos-1] [SHIFT] [sin-1] DEG  9.000015685

    Primele 10 cifre ale numarului (reprezentat intern pe 12 cifre) sunt afisate pe display 9.000015685??.

    Scazand 9.00001 din rezultat obtin si ultimile doua cifre din reprezentarea interna de 12 cifre a numarului:

    EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] DEG0.
    9 [sin] [cos] [tan] [SHIFT] [tan-1] [SHIFT] [cos-1] [SHIFT] [sin-1] [-]DEG  8.999998637
    9.00001 [=]8.568547 -06

    Ultimile doua cifre sunt 47. Deci numarul de diagnostic complet este 9.00001568547.

    Efectuand acelasi calcul cu un Canon F-604 se obtine numarul 8.99999864382 in timp ce pentru Canon F-720i rezultatul este 9.00000000000 in cap.

    Am grupat in tabelul de mai jos rezultatele diagnosticarii unor calculatoare.

    CalculatorNumar diagnostic
    CASIO fx-82SXW9.00001568547
    SHARP EL-501W8.99999863704
    SHARP EL-503W9.0000000989060
    SHARP EL-531WH9.0000000989060
    Citizen SRP-2659.0000278599
    Canon F-6048.99999864382
    Canon F-720i9.00000000000
    Milan9.00000000000
    Casio fx-350MS8.99999863704
    Casio fx-115MS8.99999863704
    TI-83 Plus8.99999695957
    TI-84 Plus8.99999695957
    Elektronika MK-549.0881454

    Analizand rezultatele din tabel constatam ca ele intr-adevar ofera informatii despre precizia algoritmilor cat si despre familia din care face parte calculatorul. Se observa ca CASIO fx-82SXW foloseste aceiasi algoritmi cu Casio. Modelele SHARP mai avansate (versiuni mai noi) folosesc insa un alt algoritm, cu precizie mai buna.

    Surprinzator, desi functiile calculatorului Milan (Spania) sunt identice cu ale unui Casio mai vechi (fx-82TL) numarul de dignostic spune clar: Canon 720i sau similar!

    De fapt se si misca la fel de lent, si display-ul LCD pe doua randuri, judecand dupa simbolurile afisate pare mai curand Canon decat Casio.

    Ca precizie cele mai tari sunt desigur TI-93/94 Plus iar cel mai slab e anticul meu MK-54, care e pe departe si cel mai lent.

  • Conversii in Grade, Radiani, Grade Centesimale

    Adeseori este necesar sa convertim unghiuri exprimate intr-o unitate de masura in alta.

    Conversia se poate face folosind functiile trigonometrice si functiile inverse ale acestora.

    De exemplu pentru a converti 30° in radiani trecem calculatorul in modul de lucru DEG (cu grade) si tastam secventa 30 [sin] [MODE][5][SHIFT] [sin-1] rezultand 0.523598775 radiani.

    Iata un alt exemplu care converteste 50° in radiani, apoi in grade centesimale si inapoi in grade.

    EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] DEG0.
    50 [sin][MODE][5][SHIFT][sin-1]RAD   0.872664626
    [sin][MODE][6][SHIFT][sin-1] GRA   55.55555556
    [sin][MODE][4][SHIFT][sin-1] DEG      50.

    Problema este ca acest procedeu se aplica doar unghiurilor din cadranul I sau IV adica:

    0 ± 90°
    0 ± π/2
    0 ± 100g

    Unghiurile mai mari din cadranele II si III vor fi reduse fie la cadranul I fie la IV de functia arcsin.

    Un alt procedeu de conversie este de a inmulti unghiul cu un factor de conversie calculat in functie de tipul conversiei:

    DIN \ IN DEG RAD GRD
    DEG ×π ÷ 180 ÷0.9
    RAD × 180 ÷ π × 200 ÷ π
    GRD ×0.9 × π ÷ 200

    Exemplu: Conversia a 120° in radiani, grade centesimale si inapoi in grade.

    EnterPress    Display    Comments
    [AC]0.Anulare
    120 [×] [SHIFT] [π] [÷] 376.9911184
    180 [=] [×] 2.094395102radiani
    200 [÷] [SHIFT] [π] [=] [×] 133.3333333grade centesimale
    .9 [=] 120.grade

    Daca am fi incercat sa aplicam procedeul anterior pentru aceste conversii functia arcsin ar fi redus ungiul de 120° la primul cadran, adica la 60°.

  • Conversia Formatului Gradelor Sexagesimale

    Conversia Formatului Gradelor Sexagesimale

    Exista doua modalitati de a reprezenta unghiurile exprimate in grade sexagesimale. Unul din moduri este de a scrie unghiul ca fractie zecimala(format DD.dddd). Adeseori insa, in probleme, unghiurile nu sunt date in aceasta forma ci in grade, minute si secunde. CASIO fx-82SX accepta si acest al doilea mod este de a introduce unghiul in formatul grade, minute, secunde: DD°MM'SS" unde DD reprezinta gradele, MM minutele si SS secundele facand automat conversia la formatul DD.dddd dupa formula cunoscuta:

    DD.dddd = DD+MM/60+SS/3600
    De asemenea CASIO fx-82SX permite in orice moment conversia dintr-un format in altul la afisare.

    Pentru introducerea unghiurilor in format °'" se introduc cifrele gradelor, se apasa tasta [°'"], apoi cifrele minutelor si din nou se apasa tasta [°'"] si in final cifrele secundelor terminand cu apasarea tastei [°'"].

    Exemplu: Calculati sin(30°15'45").
    R: sin(30°15'30") =

    EnterPress    Display    Comments
    [MODE] [4] DEG  0.Lucru in grade sexagesimale
    30 [°'"] DEG  30.grade
    15 [°'"] DEG  30.25grade + minute/60
    45 [°'"] DEG  30.2625grade + minute/60 + secunde/3600
    [SHIFT] [°'"] DEG  30°15°45.grade, minute, secunde
    [sin] DEG  0.503962424sin
    [SHIFT][sin-1] DEG  30.2625arcsin
    [SHIFT] [°'"] DEG  30°15°45.grade, minute, secunde
    [°'"] DEG  30.2625grade + minute/60 + secunde/3600

    Exemplu: Sa se exprime in grade, minute si secunde unghiul dintre dreapta y = 2.5x+1 si axa Ox;
    R: α = 68°11'54.92"

    EnterPress    Display    Comments
    [MODE] [4] DEG  0.Lucru in grade sexagesimale
    2.5 [SHIFT] [tan-1] DEG   68.19859051Grade (DD.dddd)
    [SHIFT] [←°'"] DEG   68°11°54.9268°11'54.92"

    Avand in vedere ca orele la fel ca si gradele sexagesimale au 60' respectiv 3600", cele doua functii de conversie pot fi folosite si pentru calculul intervalelor orare.

    Exemplu: 11h35m10.5s - 8h15m33.75s = 3h19m36.75s

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    11 [°'"] 11.ore
    35 [°'"] 11.58333333ore + minute/60
    10.5 [°'"][−] 11.58625T2 = ore + minute/60 + secunde/3600
    8 [°'"] 8.ore
    15 [°'"] 8.25ore + minute/60
    33.75 [°'"] 8.259375T1 = ore + minute/60 + secunde/3600
    [=] 3.326875Δ= T2-T1 = ore + minute/60 + secunde/3600
    [SHIFT] [←°'"] 3°19°36.75ore, minute, secunde

    Exemplu: Un autoturism parcurge 196km avand viteza medie de 75 km/h. Cat a durat drumul?
    R:2h36m48.s

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] 0.
    196 [÷] 196.
    75 [=] 2.613333333T = ore + minute/60 + secunde/3600
    [SHIFT] [←°'"] 2°36°48.T(ore, minute, secunde)
  • Conversii Polar/Rectangular

    Conversia din/in coordonate polare (R,θ) in/din cooldonate rectangulare (x,y) este o functionalitate extrem de utila in cercetarea stiintifica si inginerie.

    polar (82K)
    Coordonate polare

    rectang (50K)
    Coordonate rectangulare

    Formulele de trecere din coordonate rectangulare in cele polare sunt:

    R = √(x² + y²)
    &theta = arctan(y/x) (-180° < θ < 180°)

    Exemplu: Convertiti din coordonate polare in coordonate recatangulare x=10.4m, y = 6m
    R: R = 12.00666482; θ = 29.98163937°

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][4] 0.Anulare, selectie mod de lucru DEG
    10.4 [Min][SHIFT][x²] [+] 45.
    6 [SHIFT][x²] [=] [√] 12.00666482R
    6 [÷] 6.y
    [MR][=] [SHIFT] [tan-1]29.98163937θ

    Formulele de trecere din coordonate polare in cele rectangulare sunt:

    x= R cos θ
    y = R sin θ

    Exemplu: Convertiti din coordonate polare in coordonate recatangulare R=45m, θ = 31.6°
    R:x = 38.32771204; y = 23.57936577

    EnterPress    Display    Comments
    [AC] [MODE][4] 0.Anulare, selectie mod de lucru DEG
    45 [Min][×] 45.R
    31.6 [cos] [=] 38.32771204x
    [MR][×] 45.R
    31.6 [sin] [=] 23.57936577y

    CASIO fx-82SX are prevazute functiile P→R si R→P cu doua argumente pentru conversia din coordonate polare in rectangulare si invers direct, fara a mai aplica manual formulele de mai sus. Aceaste functii folosesc pentru pastrarea valorii coordonatelor registrii de lucru X si Y.

    Pentru a face conversia din coordonate polare in coordonate rectangulare se tasteaza

    R [SHIFT][P→R] θ
    Pentru a face conversia din coordonate rectangulare in coordonate polare se urmeaza urmatorii pasi:
    x [SHIFT][R→P] y;

    prprblm (8K)

    Exemplu: Convertiti din coordonate polare in coordonate recatangulare R=√2m, θ = 45°
    R:x = 1; y = 1

    EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] 0.
    2 [√][SHIFT][P→R] 1.41213562
    45 [=] 1.
    [SHIFT][X↔Y] 1.
    [SHIFT][X↔Y] 1.

    Exemplu: Convertiti din coordonate recatangulare in coordonate polare x=1m, y = √3m
    R: R = 2; θ = 60°

    EnterPress    Display    
    [AC][MODE][4] 0.
    1 [SHIFT][P→R] 1.
    3 [√][=] 1.
    [SHIFT][X↔Y] 2.
    [SHIFT][X↔Y] 60.

FUNCTII HIPERBOLICE

In matematica functiile hiperbolice sunt analogul in spatiul hiperbolic al functiilor trigonometrice sau circulare in spatiul euclidian existand foarte multe similitudini intre ele. Functiile circulare sin(t) si cos(t), t ∈ [0, 2&pi] parametrizeaza cercul unitar avand ecuatia x² + y² = 1 si avand ecuatia parametrizata:

x = cos(t)
y = sin(t)

unitcircle (12K)

sin(t)² + cos(t)² = 1

sine2 (26K)

cosine2 (31K)

Similar functiile hiperbolice sinh(t) si cosh(t), t{−∞, ∞] parametrizeaza hiperbola standard x² − y² = 1:

x = cosh(t)
y = sinh(t)

hyperbola (11K)

hyper012 (15K)

Argumentul functiilor hiperbolice nu se masoara in grade. Numit unghi hiperbolic, el reprezenta dublul ariei dintre graficul hiperbolei, axa Ox si segmentul care uneste originea si punctul de coordonate (x,y) de pe grafic (aria colorata cu albastru)

Din relatia de conversie din forma polara in rectangulara a numerelor complexe:

eix = cos(ix) + i sin(ix)
e−ix = cos(ix) − i sin(ix)

cos(x) = (eix + e-ix)/2
sin(x) = (eix - e-ix)/(2i)

Similar se obtine pentru functiile hiperbolice inlocuind i cu 1:

ex = cosh(x) + sinh(x)
e−x = cosh(x) − sinh(x)

cosh(x) = (ex + e−x)/2
sinh(x) = (ex − e−x)/2

cosh (2K)
cosh(x)

sinh (2K)
sinh(x)

tanh (2K)
tanh(x)

invcosh (1K)
arccosh(x)

invsinh (1K)
arcsinh (x)

invtanh (2K)
arctanh(x)

Putem folosi formulele de mai sus pentru calculul functiilor sinh,cosh si tanh:

cosh(x) = (ex + e−x)/2 = (e2x + 1)/(2ex)
sinh(x) = (ex − e− x)/2 = (e2x − 1)/(2ex)
tanh(x)= sinh(x)/cosh9x) = (ex − e-x)/(ex + e-x) = (e2x − 1)/(e2x + 1)

Exemplu: tanh 2.99 = 0.994955105

EnterPress    Display    
[AC] 0.
2.99 [×] 2.99
2 [=] [SHIFT] [ex] [Min] [−] 395.4403682
1 [=] [÷] [(] [MR] [+] 395.4403682
1 [=] 0.994955105

Formulele de calcul ale functiilor hiperbolice inverse sunt:

arcsinh(x) = sinh-1(x) = ln(x + √(x² + 1))
arccosh(x) = cosh-1(x) = ln(x + √(x² − 1))
arctan(x) = tanh-1(x) = ln[(x +1)/(x-1)]/2

Exemplu: sinh-1 86.213 = 5.150001792

EnterPress    Display    
[AC] 0.
86.213 [Min] [+] [(] [MR] [x²] [+] 7432.681369
1 [)] [√] [=] [ln] 5.150001792

Desi nu este rau de stiut aceste formule, vestea buna este ca CASIO fx-82SX are implementat calculul functiilor hiperbolice. Pentru a calcula sinh, cosh si tanh se apasa tasta [hyp] si tasta [sin], [cos] respectiv [tan].

Exemplu: tanh 2.99 = 0.994955105

EnterPress    Display    
2.99 [hyp][sin] 0.994955105

Pentru calcul functiilor inverse sinh-1, cosh-1 sau tanh-1 se tasteaza [SHIFT] [hyp] [sin-1], [cos-1], respectiv [tan-1].

Exemplu: sinh-1 86.213 = 5.150001792

EnterPress    Display    
86.213 [SHIFT] [hyp] [sin-1] 5.150001792
Ecuatia lantisorului

catenarygrf (32K)

Ecuatia lantisorului este:

catenary (3K)

Graficul acestei functii corespunde formei pe care o ia un cablu sau un lantisor intins intre doua puncte sub actiunea propriei sale greutati.

Parametrul a este dat de raportul dintre componenta orizontala a tensiunii in cablu T0 si P - greutatea unitara a cablului:

aparam (1K)

In cazul general, lungimea unei portiuni ΔL al graficului unei functi f(x) in vecinatatea punctului X0, pe o portiune mica dx este aproximativ egala cu lungimea tangentei la curba in X0(pe aceasta portiune curba putand fi aproximata cu tangenta).

lunggrf (5K)

In aceste conditii dL = √(dx² + dy²) este lungimea graficului curbei intre X0 si X0 + dx.

Deoarece tg(α) = dy/dx, dy = dx &sdot tg(α) iar deoarece tg(α)= f '(X0) rezulta ca

dy = dx ⋅ f '(X0)

si deci

dL = √{dx² + dx² ⋅ [f '(X0)]²} = dx⋅√{1 + [f'(X0)]²}

In particular pentru ecuatia lantisorului:

CatenaryMod_gr_47 (1K)

se obtine:

CatenaryMod_gr_48 (1K)

Si deci lungimea curbei intre x = 0 si x = a este;

CatenaryMod_gr_49 (1K)

Exemplu: Un cablu este intins la inaltimea de 9.28m intre doi stalpi situati la o distanta de 12.19 m. La mijlocul distantei dintre stalpi cablul se afla la inaltimea de 5.58 m fata de pamant. care este lungimea cablului?
Lungimea cablului e data de formula: L = 2 ⋅ a ⋅ sinh ((D/2)/a )

unde D = 12.19m este distanta dintre stalpi iar a=5.58 inaltimea in punctul cel mai de jos al curbei si deci:
R: L = 2 ⋅ 5.58 ⋅ sinh ((12.19/2)/5.58 ) = 14.76

EnterPress    Display    
[AC] [MODE][7][2] 0.00
2 [×] 2.00
5.58[Min] [×] [(] 0.00
12.19 [÷] 12.19
2 [÷][MR] [)] [hyp] [sin] [=] 14.76

Exemplu: O telecabina cu turisti se deplaseaza pe un cablu intins intre doua varfuri se afla la acelasi nivel la o distanta de 437 de metri. unghiul format de cablu in punctul de prindere cu orizontala este de 63° Cat dureaza traversarea daca telecabina se deplaseaza pe cablu cu 135 m/min?.
Lungimea cablului e data de formula: L = 2 ⋅ a ⋅ sinh ((D/2)/a ) (vezi exemplul anterior)
Tangenta la cablu in punctul de prindere (x=D/2) este tg(α) = d/dx (a ⋅ cosh((D/2)/a) = sinh((D/2)/a)
Deci (D/2)/a = arcsinh(tg(α)) adica
a = (D/2)/arcsinh(tg(α))
Deci sinh((D/2)/a) fiind egal tg(α) putem scrie ca:
L = 2 ⋅ a ⋅ tg(alpha) = D ⋅ tg(alpha)/arcsinh(tg(α)) = 437 × tg(63°)÷arcsinh(tg(63°))
R: t = 437 × tg(63°) ÷arcsinh(tg(63°))÷135 = 4.453 minute = 4m 27s

Selectati modul de lucru DEG
EnterPress    Display    
[AC] [MODE][7][3] 0.000
437 [×] 437.000
63 [tan] [Min] [÷] [MR] [SHIFT][hyp] [sin-1] [÷] 601.113
135 [=] 4.453
[SHIFT] [°'"] 4°27°9.68

GENERAREA NUMERELOR ALEATOARE

Pentru generarea unui numar aleator cuprins intre 0.000 si 0.999 se tasteaza [SHIFT] [RAN#]. Numarul este salvat in registrul X si afisat pe display.

Exemplu:

EnterPress    Display    
[SHIFT] [RAN#] 0.627

CALCULE STATISTICE

  • Parametrii Statististici: MEDIA, ABATEREA MEDIE PATRATICA(VARIANTA) si DEVIATIA STANDARD

    O variabila statistica este o caracteristica masurata care difera de la subiect la subiect. De exemplu s-ar masura greutatea sau inalimea a 30 de persoane sau greutatea, diametrul si grosimea unor portii de piza, valorile masurate ar diferi de la subiect la subiect si deci aceste caracteristici pot fi considerate variabile statistice.

    Dispersia unei variabile statistice masoara cat de mult difera intre ele valorile variabilei. Daca diferitele valori pe care le ia variabila difera putin dispersia este mica. Daca insa diferentele intre valorile masurate sunt mari, dispersia este mare.

    Reprezentand pe un grafic frecventa de aparitie a diferitelor valori ale unei variabile statistice (de exemplu inaltimea sau greutatea subiectilor) se obtine graficul distributiei acesteia:

    spread (2K)

    In cazul asa numitei distributii normale, valorile variabilei sunt distribuite in mod egal la stanga si la dreapta unei valori medii data de relatia:

    meanx (3K)

    unde Σxi este suma valorilor masurate si N este numarul lor.

    In graficele de mai sus, cele doua variabile au aceeasi medie dar dispersii diferite. Cu cat variabila are o dispersie mai mare cu atat curba de distributie este mai plata.

    Un indicator al marimii dispersiei unei variabile statistice este varianta sau abaterea medie patratica, calculata ca medie aritmetica a abaterilor marimilor masurate de la medie. De exemplu valorile 1, 2 si 3 au media (1 + 2 + 3)/3 = 2 si abaterea medie patratica:

    v1 (1K)

    Deoarece abaterile de la medie pot fi atat pozitive cat si pozitive si fiind uniform distribuite atat la stanga cat si la dreapta mediei, media lor ar fi intotdeauna nula si nu poate servi ca indicator al dispersiei. De aceea s-a optat pentru medierea patratelor abaterilor care sunt pozitive indiferent daca abaterea este pozitiva sau negativa.

    Formula de calcul a variantei este:

    v2 (1K)

    unde unde X sunt valorile xi masurate, i∈[1...N], N este numarul lor iar &mu media.

    normaldist (4K)

    In cazul ideal, curba de distributie are forma unui clopot (clopotul lui Gauss) fiind graficul functiei:

    normal5 (1K)

    Pe axa x sunt reprezentate valorile masurate (inaltimi, greutati, diametre, grosimi, crime, calorii consumate, km parcursi, etc.) iar pe aza y frecventele de aparitie ale valorilor respective. Forma graficului distributiei normale poate fi mai zvelta sau mai aplatizata in functie de parametri:

    normal2 (1K)

    Din expresia analitica a functiei de distributie normala se vede ca parametrii care determina forma graficului sunt chiar caracteristicile variabilei statistice discutate mai sus: media μ si si varianta σ².

    Cel mai utilizat indicator al dispersiei este insa deviatia standard σ calculata ca fiind radacina patrata a variantei:

    stdev1 (3K)

    sau in forma echivalenta usor de dedus din prima:

    stdev2 (3K)

    Semnificatia deviatiei standard este explicata mai jos.

    stdev3 (6K)

    La o abatere de o deviatie standard σ la stanga si la dreapta mediei μ (in intervalul colorata cu rosu de sub graficul distributiei normale)se incadreaza circa 68% din subiecti. La o distanta de doua deviatii standard la drepata si la stanga mediei (intervalul colorat cu verde) se incadreaza circa 95% din subiectii testati iar in intervalul delimitat de 3 deviatii standard (colorat cu albastru) 99%. Cu cat σ este mai mare cu atat graficul este mai aplatizat.

    De unde aceste procente (70%, 95%, 99%)? Deoarece aria de sub curba reprezinta suma tuturor esantioanelor adica N. In cazul clopotului lui Gauss, functia este normata si aria de sub curba (calculata ca integrala de la -∞ la ∞) este 1 adica 100%.

    Integrala de la -σ la σ din functie este aproximativ 0.7 adica 70%.

    Integrala de la -2⋅σ la 2⋅σ din functie este aproximativ 0.95 adica 95%.

    Integrala de la -3⋅σ la 3⋅σ din functie este aproximativ 0.99 adica 99%.

    In analiza datelor statistice deviatia standard este importanta deoarece ea indica gradul de dispersie a marimii statistice masurate. La ce este ea utila? Sa luam un exemplu. Un ziarist vrea sa scrie un reportaj despre rezultatele testelor nationale la doua scoli din Bucuresti.

    Comparand punctajele obtinute la testele nationale de elevii scolii generale 166 si 162 se constata ca media elevilor scolii 162 este mai mare decat a celor de la scoala 166. Asta l-ar face sa presupuna ca elevii de la 162 sunt mai isteti.

    Dar calculand si comparand deviatiile standard ale punctajelor obtinute de cele doua scoli ar putea constata ca desi teoretic ar trebui sa fie aproximativ egale, cea a scolii 166 este mult mai mare decat a scolii 162. Aceasta inseamna ca punctajele obtinute de 68% din elevii de la 166 variaza de exemplu intre 6 si 9 in timp ce la 162 68% din elevi au luat note intre 8 si 9. Ipoteza lui ca cei de la 162 sunt mai isteti nu mai sta in picioare.

    Daca ar fi fost asa, atunci deviatiile standard ar fi fost aproximativ egale, iar 68% din elevii de la 166 ar fi avut note intre 6 si 7 , nu intre 6 si 9! Explicatia deci trebuie cautata in alta parte. Investigand mai indeaproape, ziaristul ar putea afla de exemplu ca la scoala 166 exista cateva clase speciale pentru handicapati sau ca in cursul anului la aceasta scoala au fost transferati toti elevii cu probleme de la toate scolile din sectorul 6.

    Adeseori este nepractic sau imposibil sa se faca masuratori pe intreaga populatie prin populatie intelegand toti subiectii analizei statistice fie ca este vorba de oameni, animale, marfuri, etc.

    Nu este posibil sa desigilezi toate cutiile de dropsuri dintr-un lot de marfa si sa numeri toate dropsurile din fiecare cutie pentru a determina deviatia standard a numarului de dropsuri din acest lot de marfa.

    Pentru aceasta este suficient sa se preleveze aleator un esantion de cateva cutii din lot care sa serveasca estimarii acestui parametru.

    Problema este ca varianta σ² calculata pentru un esantion al unei populatii are tendinta sa subestimeze varianta acesteia, respectiv deviatia standard calculata pe baza acestei variante sa fie mai mica decat cea reala.

    De aceea in cazul analizei statistice pe baza unui esantion varianta acestuia se noteaza nu σ² ci S². Aceast indicator este numit numita varianta sau abaterea medie patratica deviata a esantionului si are formula de calcul:

    v3 (1K)

    unde M este media esantionului.

    Varianta sau abaterea medie patratica nedeviata a esantionului, care estimeaza corect varianta σ² a populatiei, se noteaza cu si se calculeaza cu formula:

    v4 (1K)

    Deviatia standard nedeviata a esantionului care estimeaza deviatia standard a populatiei σ este notata cu s si fiind radacina patrata a variantei nedeviate a esantionului, se calculeaza cu formula:

    stdev4 (3K)

    sau

    stdev5 (4K)

  • MODUL DE LUCRU STATISTIC

    CASIO fx-82SX ofera functii pentru introducerea si editarea datelor statistice si pentru calculul tuturor indicatorilor statistici discutati mai sus: n (numarul de date), Σx, Σx², x, σx si sx.

    Pentru a trece calculatorul in modul de lucru statistic SD se tasteaza [MODE][.]. Pe display in coltul din dreapta sus va fi afisat simbolul SD indicand ca modul de lucru statistic este activat.

    Revenirea din modul de lucru statistic la modul de lucru normal(algebric) COMP se face apasand [MODE][0] Modul statistic SD nu este volatil,, la repornirea calculatorului acesta intra in modul statistic daca la oprire se afla in acest mod de lucru. Datele statistice nu se pierd nici ele la oprirea calculatorului

    La iesirea din modul de lucru statistic, memoria statistica este anulata toate datele introduse fiind sterse.

  • INTRODUCEREA SI CORECTIA DATELOR STATISTICE

    fx82sdbtn (2K)

    Cu calculatorul trecut in modul statistic de lucru, valorile din setul de date se stocheaza una cate una in memoria statistica apasand tasta [DATA] dupa fiecare numar introdus: valoare [DATA]...

    De exemplu pentru a introduce datele 10, 20, 30, 40, 50. Se tasteaza 10 [DATA] 20 [DATA] 30 [DATA] 40 [DATA] 50 [DATA].

    fx82sdbtn2 (2K)

    Daca aceeasi valoare apare de mai multe ori in setul de date de introdus, ea poate fi tastata o singura data, urmata de frecventa ei de aparitie in setul de date introducand secventa: valoare [×] frecventa [DATA].

    De exemplu pentru a introduce datele 11,12,12, −13,14,11,12,15 se tasteaza: 11 [×] 2 [DATA] 12 [×] 3 [DATA] 13 [+/-] [DATA] 14 [DATA] 15 [DATA].

    Pentru a introduce rezultatul evaluarii unei expresii ca data statistica se calculeaza valoarea expresiei ca si in modul normal de lucru si dupa ce s-a obtinut rezultatul afisat pe display, se apasa tasta [DATA].

    Pentru a obtine in timpul calculelor numarul de date introduse in memoria statistica se apasa tasta [SHIFT][n].

    Corectia datelor introduse inainte de apasarea tastei [DATA] se face cu ajutorul tastei [C] si [AC] ca si in modul normal.

    Dupa apasarea tastei [DATA] valoarile eronate introduse anterior si stocate deja in memoria statistica pot fi sterse prin reintroducerea valorii eronate si apasarea tastelor [SHIFT][DEL] (ceea ce duce si la decrementarea corespunzatoare numarului n ).

    De exemplu daca s-au introdus in memoria statistica datele 10, 20, 30, 40, 40, 40, 40, 60 prin tastarea secventei:

    10 [DATA] 20 [DATA] 30 [DATA] 40 [×] 4 [DATA] 60 [DATA]

    si se doreste stergerea numerelor 40, 40, 40, 60 si adaugarea valorii 50 se tasteaza:

    40 [×] 3 [SHIFT] [CD] 60 [SHIFT] [DEL] 50 [DATA]

    Numarul de date din memoria statistica afisat dupa aceasta secventa este 5 (fiind sterse 4 valori din 8 introduse anterior si adaugata inca una).

    Stergerea integrala a memoriei statistice se face tastand [SHIFT][SAC]

  • AFISAREA PARAMETRILOR STATISTICI

    In modul statistic, dupa introducerea datelor urmatorii parametri pot fi obtinuti:

    Parametru statisticTaste apasate
    Numarul de date n [n]
    Suma datelor Σx [SHIFT] [Σx]
    Suma patratelor datelor Σx² [SHIFT] [Σx²]
    Media datelor x[x]
    Deviatia standard a populatiei σx[SHIFT] [σx]
    Deviatia standard (nedeviata) a esantionului sx[sx]

    Exemplu: Din tabelul de mai sus se vede ca EL-501 furnizeaza atat parametrii statistici x (μ), sx, σx, dar si 'ingredientele' pe care le-a folosit la calculul acestor parametri: n, Σx, Σx². - Introduceti setul urmator de date: 95, 80, 80, 75, 75, 75, 50.
    - Afisati parametrii statistici calculati de EL-501: x, sx, σx, n, Σx, Σx².
    - Folosind n, Σx, Σx² furnizati de calculator determinati parametrii statistici x, sx, σx prin calcul direct, aplicand formulele prezentate mai sus.

    R: x = 75.71428571; sx = 13.3630621; σx = 12.37179148; n = 7; Σx = 530; Σx² = 41200;
    x = (1/n)Σx = (1/7)⋅ 530 = 75.71428571;
    sx = √[1/(n-1)(Σx² − n⋅(x)²)] = √[1/(7-1)( 41200 − 7⋅75.71428571²)] = 13.3630621;
    σx = √[(1/n)Σx² − (x)²] = √[(1/7)⋅41200 − 75.71428571²] = 12.37179148;

    EnterPress    Display    
    [MODE][.] 0.
    Introducere date
    95 [DATA] 95.
    80 [×] 80.
    2 [DATA] 80.
    75 [×] 75.
    3 [DATA] 75.
    50 [DATA] 50.
    Afisare parametri
    [SHIFT][n] 7.
    [SHIFT][x] 75.71428571
    [SHIFT][sx] 13.3630621
    [SHIFT][σx] 12.37179148
    [SHIFT][Σx] 530.
    [SHIFT][Σx²] 41200.
    Calcul parametri folosind formulele
    [MODE][0] 0.
    530 [÷] 530.
    7 [=] [Min] 75.71428571
    41200 [÷] 41200.
    7 [=] [−] [MR] [SHIFT][x²] [=] [√] 12.37179148
    41200 [−] [(] 0.
    7 [×] [MR] [SHIFT][x²] [)] [=][÷][(] 0.
    7 [−] 7.
    1 [)] [=] [√]13.3630621

    Exemplu: Ultimile 10 vile vandute pe piata imobiliara au avut preturile $198,000; $185,000;$205,200;$225,300; $206,700; $201,850; $200,000; $189,000; $192,100; $200,400. Care este pretul mediu si deviatia standard? Un pret de vanzare de $240,000 ar putea fi considerat neobisnuit in zona respectiva?

    R: Pretul mediu: $200,355
    Deviatia standard sx: $11,189.0435
    Interval 95% [μ + 2sx, μ − 2sx]: [$177,976.913, $222,733.087]
    Deci aflandu-se in afara acestui interval in care se incadreaza 95% din vanzari, un pret de $240,000 este ceva neobisnuit.

    EnterPress    Display    Comments
    [MODE][.] 0.00Selectie mod statistic
    Introducere date
    198000 [DATA] 198000.x1
    185000 [DATA] 185000.x2
    205200 [DATA] 205200.x3
    225300 [DATA] 225300.x4
    206700 [DATA] 206700.x5
    201850 [DATA] 201850.x6
    200000 [DATA] 200000.x7
    189000 [DATA] 189000.x8
    192100 [DATA] 192100.x9
    200400 [DATA] 200400.x10
    Afisare/prelucrare date
    [SHIFT][x] 200355.Media
    [SHIFT][sx][×] 11189.0435Deviatia standard
    2 [+][SHIFT][x][=] 222733.087 μ + 2⋅sx
    [SHIFT][sx][×] 11189.0435Deviatia standard
    2 [+/-][+][SHIFT][x][=] 177976.913 μ − 2⋅sx

    Exemplu: Am tinut cateva luni la rand evidenta plinurilor facute la masina si au rezultat urmatoarele date: 56 litri la 3.66 Lei/l, 27 litri la 3.37 Lei/l, 38 litri la 3.43 Lei/l si 64 litri la 3.69 Lei/l. Care este pretul mediu al combustibilului cumparat?
    R: Avem de calculat o medie ponderata μ = (1/N)⋅Σ(fi⋅pi)
    unde N = Σ fi. Rezulta:
    N = Σ fi = 185
    S =Σ(fi⋅pi) = 662.45
    μ = S/N = 662.45/185 = 3.58 [Lei/l]

    EnterPress    Display    Comments
    [MODE][.][MODE][7][2] 0.00Selectie mod statistic, FIX 2
    Introducere date
    3.66 [×] 3.66p1
    56 [DATA] 56.00f1
    3.37 [×] 3.37p2
    27 [DATA] 83.00f1 + f2
    3.43 [×] 3.43p3
    38 [DATA] 121.00f1 + f2 + f3
    3.69 [×] 3.69p4
    64 [DATA] 185.00N = f1 + f2 + f3 + f4
    Afisare/prelucrare date
    [SHIFT][x] 3.58Media μ
    Verificare S/N
    [SHIFT][Σx] 662.45 S = Σ(fi⋅pi)
    [÷][SHIFT][n][=] 3.58μ = S/N

COMBINATORICA - FACTORIAL, PERMUTARI, ARANJAMENTE, COMBINARI

  • Factorialul

    Apasarea tastei [x!] determina calculul functiei factorial n! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... n. n ∈ Ν, avand ca argument numarul aflat in registrul X afisat pe display. Acest numar trebuie sa fie un numar natural ( intreg si pozitiv). In caz contrar calculatorul va semnala eroare si intregul calcul va fi compromis. Functia avand un singur operand este calculata imediat si rezultatul este stocat in registrul X si afisat pe display, fara a afecta registrul Y.

    Exemplu: 5! = 120

    EnterPress    Display    
    5 [SHIFT] [x!] 120.

    Exemplu: 10! = 3628800

    EnterPress    Display    
    10 [SHIFT] [x!] 3628800.

    Exemplu: 13! = 6227020800

    EnterPress    Display    
    13 [SHIFT] [x!] 6227020800

    Pentru n > 13 n! devine prea mare si avand mai mult de 10 cifre nu poate sa mai fie afisat in virgula mobila. Afisarea se face in notatie stiintifica:

    Exemplu: 14! = 87178291200

    EnterPress    Display    
    14 [SHIFT] [x!] 8.7178291 10

    In acest caz, avand in vedere ca in memorie numarul este reprezentat pe 12 cifre, putem sa obtinem, si ultimile doua cifre scazand din rezultat 8⋅1010:

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    14 [SHIFT] [x!] [−] 8.7178291 10
    8 [EXP] 8.
    10 [=] 7178291200

    Deci 14! = 87178291200

    Similar putem obtine 15! = 1307674368000

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    15 [SHIFT] [x!] [−] 1.3076743 12
    1.3 [EXP] 1.3
    12 [=] 7674368000.

    Deci 15! = 1307674368000, iarasi am obtinut rezultatul corect.

    Incepand insa de la 18! = 6402373705728000 (13 cifre semnificative) nu vom mai putea obtine toate cifrele factorialului nici macar in reprezentarea interna, incepand sa se manifeste o oarecare scadere a preciziei.

    Cel mai mare numar pentru care se poate calcula factorialul cu aceasta functie este n=69.

    59! =
    171122452428 141311372468 338881272839 092270544893 520369393648 040923257279 754140647424 000000000000 000

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    69 [SHIFT] [x!] [−] 1.7112245 80
    1.711 [EXP] 1.711
    98 [=] 2.2452412 94

    Deci din cele 99 de cifre ale lui 69! avem primele 10 cifre (cele mai semnificative), toate corecte si ultimele doua nu: 59! = 1.71122452412⋅1098

    La incercarea de a calcula 70! =
    119785716699 698917960727 837216890987 364589381425 464258575553 628646280095 827898453196 800000000000 00000
    calculatorul va semnala eroare deoarece rezultatul depaseste valoarea maxima admisa 9.9999999⋅1099 si nu mai poate fi afisat pe display nici in notatie stiintifica exponentul avand 3 cifre.

    EnterPress    Display    
    70 [SHIFT] [x!] E          0.

    Putem calcula valoarea aproximativa a factorialului unor numere mari folosind formula (aproximatia) lui Stirling:

    stirling (2K)

    70! ≈ &radic(2π⋅70)⋅(7 ÷ e)70⋅1070 Calculam doar &radic(2π⋅70)⋅(7 ÷ e)70 pentru ca rezultatul sa fie mic.

    EnterPress    Display    
    [AC] [(] [01      0.
    2 [×] [SHIFT] [π] [×]6.2831855307
    70 [)] [√] [×] [(][01      0.
    7 [÷] 7.
    1 [SHIFT] [ex][)][SHIFT][xy] 2.575156088
    70 [=] 1.196432005 30

    deci 70! ≈ 1.196432⋅10(30 + 70) = 1.196432005⋅ 10(100)

    Am reusit sa determin exact primele trei cifre ale lui 70! Pentru unele calcule este o aproximatie satisfacatoare.

    O aproximatie mai buna este data de formula:

    stirlingm (5K)

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    2 [×] [SHIFT] [π] [×]6.283185307
    69 [Min][=] [√] [×][(] [MR][÷] [1][SHIFT] [ex][)][xy] [MR][×] 1.70915909 98
    [(] 0
    1 [+] 1.
    12 [SHIFT][1/x][÷][MR] [)]1.001207729
    [=] 1.711223292 98
    daca aplicand doar formula lui Stirling am obtinut numai trei cifre exacte 69! ≈ 1.71e98, aplicand a doua formula am obtinut 6 cifre exacte 69! ≈ 1.71122e98

    Sa aplicam aceeasi formula pentru a calcula:

    256! =
    857817775342 842654119082 271681232625 157781520279 485619859655
    650377269452 553147589377 440291360451 408450375885 342336584306
    157196834693 696475322289 288497426025 679637332563 368786442675
    207626794560 187968867971 521143307702 077526646451 464709187326
    100832876325 702818980773 671781454170 250523018608 495319068138
    257481070252 817559459476 987034665712 738139286205 234756808218
    860701203611 083152093501 947437109101 726968262861 606263662435
    022840944191 408424615936 000000000000 000000000000 000000000000
    000000000000 000000000000 000

    256! ≈ &radic(2π⋅256)⋅(2.56 ÷ e)256⋅10512 (1+1/12/256).

    Calculam doar &radic(2π⋅256)⋅(2.56 ÷ e)256(1+1/12/256) pentru ca rezultatul sa fie mic:

    112
    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    2 [×] [2ndF] [π] [×]6.2831855307
    256 [Min][=] [√] [×] [(]0.
    2.56 [÷] 2.56
    1 [2ndF] [ex][)][xy][MR] [×]8.575385834 -06
    [(] 0.
    [+] 1.
    [2ndF][1/x][÷][MR][)] 1.000325521
    [=]8.5781773 -06

    Deci 256! ≈ 8.5781773 -06⋅10(-6+512) = 8.5781773 ⋅10506

    Am reusit sa determin exact primele 7 cifre ale factorialului. Cu formula lui Stirling ramaneam la 3 cifre corecte: 8.5753858⋅10506

  • Permutari

    Prin permutari de n elemente, notat Pn, se intelege numarul de multimi ordonate (cu elementele dispuse intr-o anumita ordine) formate cu toate cele n elemente ale unei multimi date.

    Exemplu: Numerele cu trei cifre distincte ce se pot forma folosind cifrele din multimea {1,2,3} sunt 6: 123, 132, 213, 231,312, 321. Numerele s-au obtinut prin permutarea celor 3 cifre.

    Se demonstreaza ca:

    Pn = n!

    Exemplu:La un joc de poker un jucator a primit urmatoarele carti: K♠, K♣, K♥, K♦ si A♣
    In cate feluri poate jucatorul aranja cele 5 carti cand le tine in mana?

    R: Pn = 5! = 120 feluri diferite.

    EnterPress    Display    
    5 [SHIFT] [x!] 120.

    Exemplu: Avand un pachet de 13 carti de joc de aceeasi culoare (A♣, K♣ Q♣, J♣, 10♣, 9♣ 8♣, 7♣, 6♣ 5♣, 4♣, 3♣ si 2♣). Cate variante de aranjare a acestora exista?

    R: P13 = 6,227,020,800 = sase miliarde doua sute douazeci si sapte de milioane doua zeci de mii opt sute de variante.

    EnterPress    Display    
    13 [SHIFT] [x!] 6227020800.
  • Aranjamente

    Prin aranjamente de n elemente luate cate k, notate in cu Ank, se intelege numarul de submultimi ordonate formate cu k elemente din cele n elemente ale unei multimi date (k ≤ n ).

    Exemplu: Avand date o multime de 4 cifre distincte {1, 2, 3,4}, cate numere cu doua cifre se pot forma cu acestea?

    R: Pentru obtinerea numerelor se fixeaza pe rand cate o cifra si se formeaza cu fiecare din celalalte trei cifre ramase numere cu doua cifre distincte.

    12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43

    Se demonstreaza ca:

    Ank = n⋅(n − 1)⋅(n − 2) ...(n − k + 1) = n! / (n − k)!

    Putem calcula A42 = 4! / (4 − 2)! = 4! / 2! = 4! / 2 = 12

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    4 [SHIFT] [x!] [÷] 24
    2 [=] 12.

    Exemplu: Am un pachet de 13 carti de joc si 3 jucatori. Daca fiecare jucator trage cate o carte din cele 13, cate variante sunt posibile?

    R: A133 = 13! / (13 − 3)! = 1716 variante

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    13 [Min][SHIFT] [x!] [÷][(] [MR] [−] 13.
    3 [)] [SHIFT] [x!] [=] 1716.
  • Combinari

    Prin combinari de n obiecte luate cate k obiecte , notat Cnk, se intelege numarul submultimilor cu k elemente din cele n elemente ale unei multimi date (k ≤ n).

    Se demonstreaza ca:

    Cnk = Ank / Pk = n! / [k! ⋅ (n − k)!]

    Exemplu: Cate combinatii pot fi formate pe un lacatel cu cifru de trei cifre?

    R: Numarul de cifre pe un disc al cifrului este 10 {0p, 1p, ... 9p}, , p=1,2,3.

    Deci multimea de cifre posibile are 3×10 = 30 cifre:

    {01, 11, ... 91, 02, 12, ... 92, 03, 13, ... 93}.

    Numarul de combinatii de trei elemente ce se pot forma cu elementele unei multimi de 30 de elemete este C303. In cazul lacatelului nu toate aceste combinatii sunt posibile, fiind valide numai combinatiile de trei cifre in care fiecare cifra apartine unui alt disc al cifrului. Combinatii de genul {Ap,Bp, Cp} in care toate cifrele apartin aceluiasi disc si {Ap,Bp, Cq} in care doua cifre apartin aceluiasi disc nu sunt permise. Cate astfel de combinatii sunt?

    Pentru fiecare disc avem C103 combinatii de trei cifre si C102 combinatii de 2 cifre care pot fi combinate cu 20 de cifre de pe celalalte doua discuri. Deci pentru fiecare disc sunt C103 + 20 × C102 combinatii invalide.

    Rezulta ca numarul de combinatii valide ce pot fi formate pe cele trei discuri este:

    C303 - 3 × ( C103 + 20 × C102) = 1000 combinatii.

    EnterPress    Display    
    [AC] 0.
    30 [Min][SHIFT] [x!] [÷] 2.6525285 32
    3 [SHIFT] [x!][÷][(] [MR] [−] 30.
    3 [)] [SHIFT] [x!] [=] [Min] 4060.
    10 [SHIFT] [x!] [÷] 3628800.
    3 [SHIFT] [x!] [÷] [(][01      0.
    10 [−] 10.
    3 [)][SHIFT] [x!] [+] 120.
    10 [SHIFT] [x!] [÷] 3628800.
    2 [÷] [(][01      0.
    10 [−] 10.
    2 [)][SHIFT] [x!] [×] 45.
    20 [=][×] 1020.
    3 [+/-][=][M+][MR] 1000.

ANEXA A - FACTORI DE CONVERSIE UZUALI

Units To convert in Multiply by
Centimeters Inches 0.3937
Square Centimeters Square Inches 0.15500
Cubic Centimeters Fluid Ounces 0.0338
Cubic Centimeters Cubic Inches 0.061023
Quarts Cubic Centimeters 946.359
Decimeters Inches 4
Dozen Line 1/12
Dozen Inches 0.0074
Gallons Cubic Centimeters 3,785.4
Grams Grains 15.4324
Grams Kilograms 0.001
Grams Pounds, Troy 0.00268
Grams Milligrams 1,000
Grams Ounces 0.03527
Grams Ounces, Troy 0.03215
Grams Carats 5
Hectares Acres 2.5
Kilograms Grams 1,000
Kilograms Grains 1532.3
Kilograms Pounds, Troy 2.6792
Kilograms Milligrams 1,000,000
Kilometers Miles 0.6214
Liters Quarts (liquid) 1.06
Liters Quarts (dry) 0.9
Liters Gallons 0.26418
Liters Ounces 33.8148
Meters Feet 3.2808
Meters Inches 39.37
Meters Yards 1.0936
Milligrams Grams 0.001
Milligrams Grains 0.0154
Milligrams Kilograms 0.000001
Square Millimeters  Square Inches 0.0516
Miles Kilometers 1.6093
Square Miles Acres 640
Nautic Miles Kilometers 1.853
Fluid Ounces Cubic Centimeters 29.5737
Feet Centimeters 30.4801
Feet Meters 0.304801
Square Feet Square Inches 144
Cubic Feet Cubic Centimeters 28.317
Inches Centimeters 2.54001
Inches Millimeters 25.4
Square Inches  Square Centimeters 6.45163
Square Inches Square Millimeters 625
Cubic Inches Cubic Centimeters 16.3872
Carats Grams 0.2
Carats Grans 3.08647
Metric Tons Pounds 2,200
Yards Meters 0.9144
Square Yards Square Feet

9

ANEXA B - CONSTANTE STIINTIFICE UZUALE

FUNDAMENTAL PHYSICAL CONSTANTS

Planck constant h
6.626075510-34 Js
h / (2 .pi.) = 1.0545726610-34 Js
Boltzmann constant kB
1.38065810-23 J/K        ( = 8.61738510-5 eV/K )
Elementary charge e
1.6021773310-19 C
Avogadro number NA
6.02213671023 particles/mol
Speed of light c
2.99792458108 m/s
Permeability of vacuum .mu.0
.mu.0 = 4 .pi. 10-7 T2m3/J
12.56637061410-7 T2m3/J
Permittivity of vacuum .epsilon.0
.epsilon.0 = 1 / (.mu.0 c2)
8.85418781710-12 C2/Jm
Fine structure constant .alpha.
1 / 137.0359895
Electron rest mass me
9.109389710-31 kg
Proton rest mass mp
1.672623110-27 kg
Neutron rest mass mn
1.674928610-27 kg
Bohr magneton .mu.B
.mu.B = e h / (4 .pi. me)
9.274015410-24 J/T
Nuclear magneton .mu.N
.mu.N = e h / (4 .pi. mp)
5.050786610-27 J/T
Free electron g factor ge
2.002319304386
Free electron gyromagnetic ratio .gamma.e
.gamma.e = 2 .pi. ge .mu.B / h
1.76085921011 1/sT
.gamma.e / (2 .pi.) = 28.024944 GHz/T
Electron magnetic moment .mu.e
.mu.e = -(1/2) ge .mu.B
-9.284770110-24 J/T
Proton gyromagnetic ratio (H2O) .gamma.p
2.67515255108 1/sT
.gamma.p / (2 .pi.) = 42.576375 MHz/T
Proton magnetic moment .mu.p
1.4106076110-26 J/T
Proton-electron ratios
mp / me = 1836.152701
.mu.e / .mu.p = 658.2106881
.gamma.e / .gamma.p = 658.2275841 (protons in water)

Charge-to-mass ratio for the electron e / me
1.758801011 C/kg
Atomic mass unit amu
1.6605410-27 kg
Bohr radius a0
5.2917710-11 m
Electron radius re
2.8179210-15 m
Gas constant R
R = NA kB
8.31451 m2kg/s2Kmol
Molar volume Vmol
22.41383 m3/kmol
Faraday constant F
F = NA e
9.64846104 C/mol
Proton g factor (Land factor) gH
5.585
Gravitational constant G
(6.673 +- 0.010)10-11 m3/kgs2 (CODATA)
6.6739010-11 m3/kgs2 +- 0.0014 % (Jens Gundlach, Univ. of Washington; from: Der Tagesspiegel 2000-05-08)
(6.6873 +- 0.0094)10-11 m3/kgs2 (Schwarz et al., Science 282, 2230 (1998))
Acceleration due to gravity g
9.80665 m/s2
Compton wavelength of the electron .lambda.c
.lambda.c = h / (me c)
2.4263110-12 m

ANEXA C - FORMULE GEOMETRICE UZUALE

Arii
Patratsquare (1K)
Dreptunghia⋅brect (1K)
Paralelogramb⋅hparral (1K)
Trapez(b1+b2)⋅h/2trap (1K)
Cercπ⋅r²circle (1K)
Elipsaπ⋅r1⋅r2ellipse (1K)
Triunghib⋅h/2triangle (1K)
Triunghi echilateral√3⋅a²/4
Triunghi LULa⋅b⋅sin(α)/2
Triunghi LLL√[p(p-a)(p-b)(p-c)]; p= (a+b+c)/2 Formula lui Heron
Poligon regulatn⋅sin(360°/n)s²/2 unde n = numarul de laturi;
s = distanta de la centru la varfuri
Volume
Cubcube (1K)
Prismaa⋅b⋅crprism (1K)
Prisma neregulatab⋅hprism (1K)
Cilindrub⋅h = π⋅r²⋅hcylinder (1K)
Piramidab⋅h/3pyrimid (1K)
Conb⋅h/3 = π⋅r²⋅h/3cone (1K)
Sferab⋅h/3 = 4⋅π⋅r³/3circle (1K)
Elipsoidb⋅h/3 = 4⋅π⋅r1⋅r2⋅r3/3ellipoid (1K)
Suprafete
Cub6⋅a²cube (1K)
Prisma Aria lateralaPerimetru(b)⋅Lprism (1K)
Prisma Aria totalaPerimetru(b)⋅L + 2⋅bprism (1K)
Sfera4⋅π⋅r²circle (1K)